求める平面と垂直なベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2,n_3)$ とすると

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} =0$

が成り立つ。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (5,-2,0)$

また

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (5,-6,3)$

より

$\left\{ \begin{aligned} 5n_1 - 2n_2 &= 0 \\ 5n_1 - 6n_2  + 3n_3 &=0 \end{aligned} \right.$

この $2$ つの式から

$n_2 = \dfrac{5}{2}n_1$, $~~n_3 = \dfrac{10}{3}n_1$

を得る。$\overrightarrow{n}$ に代入すると

$\overrightarrow{n} = \left( n_1,~\dfrac{5}{2}n_1,~\dfrac{10}{3}n_1 \right) = \dfrac{n_1}{6} ( 6, 15, 20)$

よって求める平面は点 ${\rm A}(-4,4,1)$ を通りベクトル $(6,15,20)$ に垂直な平面である。

以上から, 平面の方程式は

$6(x+4) + 15(y-4)+ 20(z-1) = 0$

整理すると $6x + 15y + 20z - 56 =0$ となる。

求める平面と垂直なベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2,n_3)$ とすると

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} =0$

が成り立つ。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (7,-3,6)$

また

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-1,0,4)$

より

$\left\{ \begin{aligned} 7n_1 - 3n_2 + 6n_3 &= 0 \\ -n_1 + 4n_3 &=0 \end{aligned} \right.$

この $2$ つの式から

$n_1 = 4n_3$, $~~n_2 = \dfrac{34}{3}n_3$

を得る。$\overrightarrow{n}$ に代入すると

$\overrightarrow{n} = \left( 4n_3,~\dfrac{34}{3}n_3,~n_3 \right) = \dfrac{n_3}{3} ( 12, 34, 3)$

よって求める平面は点 ${\rm B}(3,0,1)$ を通りベクトル $(12,34,3)$ に垂直な平面である。

以上から, 平面の方程式は

$12(x - 3) + 34y + 3(z-1) = 0$

整理すると $12x + 34y + 3z - 39 =0$ となる。

求める平面と垂直なベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2,n_3)$ とすると

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} =0$

が成り立つ。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-5,3,0)$

また

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-5,6,-2)$

より

$\left\{ \begin{aligned} -5n_1 + 3n_2 &= 0 \\ -5n_1 +  6n_2  - 2n_3 &=0 \end{aligned} \right.$

この $2$ つの式から

$n_2 = \dfrac{5}{3}n_1$, $~~n_3 = \dfrac{5}{2}n_1$

を得る。$\overrightarrow{n}$ に代入すると

$\overrightarrow{n} = \left( n_1,~\dfrac{5}{3}n_1,~\dfrac{5}{2}n_1 \right) = \dfrac{n_1}{6} ( 6, 10, 15)$

よって求める平面は点 ${\rm C}(-3,2,0)$ を通りベクトル $(6,10,15)$ に垂直な平面である。

以上から, 平面の方程式は

$6(x+3) + 10(y-2)+ 15z = 0$

整理すると $6x + 10y + 15z - 2 =0$ となる。

求める平面と垂直なベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2,n_3)$ とすると

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} =0$

が成り立つ。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-6,4,3)$

また

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-4,3,-3)$

より

$\left\{ \begin{aligned} -6n_1 + 4n_2 + 3n_3 &= 0 \\ -4n_1 + 3n_2  - 3n_3 &=0 \end{aligned} \right.$

この $2$ つの式から

$n_2 = \dfrac{10}{7}n_1$, $~~n_3 = \dfrac{2}{21}n_1$

を得る。$\overrightarrow{n}$ に代入すると

$\overrightarrow{n} = \left( n_1,~\dfrac{10}{7}n_1,~\dfrac{2}{21}n_1 \right) = \dfrac{n_1}{21} ( 21, 30, 2)$

よって求める平面は点 ${\rm A}(2,-1,-1)$ を通りベクトル $(21,30,2)$ に垂直な平面である。

以上から, 平面の方程式は

$21(x-2) + 30(y+1) + 2(z+1) = 0$

整理すると $21x + 30y + 2z - 10 =0$ となる。

求める平面と垂直なベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2,n_3)$ とすると

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} =0$

が成り立つ。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-4,2,-1)$

また

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-3,4,-3)$

より

$\left\{ \begin{aligned} -4n_1 + 2n_2 - n_3 &= 0 \\ -3n_1 + 4n_2  - 3n_3 &=0 \end{aligned} \right.$

この $2$ つの式から

$n_2 = \dfrac{9}{2}n_1$, $~~n_3 = 5n_1$

を得る。$\overrightarrow{n}$ に代入すると

$\overrightarrow{n} = \left( n_1,~\dfrac{9}{2}n_1,~5n_1 \right) = \dfrac{n_1}{2} ( 2, 9, 10)$

よって求める平面は点 ${\rm A}(-1,0,3)$ を通りベクトル $(2,9,10)$ に垂直な平面である。

以上から, 平面の方程式は

$2(x+1) + 9y + 10(z-3) = 0$

整理すると $2x + 9y + 10z - 28 =0$ となる。