$2$ つの平面
$\alpha:$ $8x + 3y + 4z -7=0$
$\beta:$ $7x + 3y + 8z -8=0$
が交わってできる直線を媒介変数表示で表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} x &= -1 + 4t \\ y &= 5 -12t \\ z &= t \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 1 - 4t \\ y &= 1 + 28t \\ z &= 3t \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 4 - 2t \\ y &= 15 - 12t \\ z &= 2t \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -4 + 2t \\ y &= 3 -8t \\ z &= 4t \end{aligned} \right.$
$2$ つの平面が交わってできる直線は, もとの $2$ 平面を通るので
$2$ つの平面の式を引くと
$(8x + 3y + 4z - 7) - (7x + 3y + 8z - 8) = x - 4z +1 = 0$
よって $x = 4z -1$ であり, $\alpha$ の式に代入すると
$8(4z - 1) + 3y +4z - 7=0$
整理すると $y = -12z + 5$
よって $t = z$ とすれば, 求める直線の媒介変数表示は
$\left\{ \begin{aligned} x &= -1 + 4t \\ y &= 5 -12t \\ z &= t \end{aligned} \right.$
となる。
$2$ つの平面
$\alpha:$ $7x + 4y - 3z + 10=0$
$\beta:$ $3x + 2y - 5z - 10 =0$
が交わってできる直線を媒介変数表示で表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} x &= -30 - 7t \\ y &= 50 + 13t \\ z &= t \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 30 + 7t \\ y &= -50 - 13t \\ z &= t \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 30 + 7t \\ y &= 50 + 13t \\ z &= t \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -30 - 7t \\ y &= -50 - 13t \\ z &= t \end{aligned} \right.$
$2$ つの平面が交わってできる直線は, もとの $2$ 平面を通るので
$2$ つの平面の式を引くと
$(7x + 4y - 3z + 10) - 2(3x + 2y - 5z - 10) = x + 7z + 30 = 0$
よって $x = -7z -30$ であり, $\alpha$ の式に代入すると
$7(-7z - 30) + 4y - 3z + 10=0$
整理すると $y = 13z + 50$
よって $t = z$ とすれば, 求める直線の媒介変数表示は
$\left\{ \begin{aligned} x &= -30 - 7t \\ y &= 50 + 13t \\ z &= t \end{aligned} \right.$
となる。
$2$ つの平面
$\alpha:$ $7x - 3y + 4z - 6=0$
$\beta:$ $2x - 3y - 3z + 9 =0$
が交わってできる直線を媒介変数表示で表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} x &= 3 - 21t \\ y &= 5 -29t \\ z &= 15t \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 3 - 7t \\ y &= 5 -23t \\ z &= 15t \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 3 - 7t \\ y &= 5 -29t \\ z &= 15t \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 3 - 21t \\ y &= 5 -23t \\ z &= 15t \end{aligned} \right.$
$2$ つの平面が交わってできる直線は, もとの $2$ 平面を通るので
$2$ つの平面の式を引くと
$(7x - 3y + 4z - 6) - (2x - 3y - 3z + 9) = 5x + 7z -15 = 0$
よって $x = -\dfrac{7}{5}z + 3$ であり, $\alpha$ の式に代入すると
$7\left(- \dfrac{7}{5}z + 3 \right) - 3y + 4z - 6=0$
整理すると $y = - \dfrac{29}{15}z + 5$
よって $z = 15t$ とすれば, 求める直線の媒介変数表示は
$\left\{ \begin{aligned} x &= 3 - 21t \\ y &= 5 -29t \\ z &= 15t \end{aligned} \right.$
となる。
$2$ つの平面
$\alpha:$ $2x - 3y + 5z + 3 =0$
$\beta:$ $2x + 4y - 3z -4 = 0$
が交わってできる直線を媒介変数表示で表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} x &= -11t \\ y &= 1 + 16t \\ z &= 14t \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -11t \\ y &= 1 + 8t \\ z &= 14t \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 11t \\ y &= 1 + 16t \\ z &= 14t \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 11t \\ y &= 1 + 8t \\ z &= 14t \end{aligned} \right.$
$2$ つの平面が交わってできる直線は, もとの $2$ 平面を通るので
$2$ つの平面の式を引くと
$(2x - 3y + 5z + 3) - (2x + 4y - 3z - 4) = -7y + 8z + 7 = 0$
よって $y = \dfrac{8}{7}z + 1$ であり, $\alpha$ の式に代入すると
$2x - 3\left( \dfrac{8}{7}z + 1 \right) + 5z +3 = 0$
整理すると $x = -\dfrac{11}{14}z$
よって $z = 14t$ とすれば, 求める直線の媒介変数表示は
$\left\{ \begin{aligned} x &= -11t \\ y &= 1 + 16t \\ z &= 14t \end{aligned} \right.$
となる。
$2$ つの平面
$\alpha:$ $x + y - z - 1 =0$
$\beta:$ $2x + 4y - 5z - 2 = 0$
が交わってできる直線を媒介変数表示で表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} x &= 1-t \\ y &= 3t \\ z &= 2t \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 2-t \\ y &= 3t \\ z &= 2t \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 1+t \\ y &= 2t \\ z &= 3t \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 2+t \\ y &= 2t \\ z &= 3t \end{aligned} \right.$
$2$ つの平面が交わってできる直線は, もとの $2$ 平面を通るので
$2$ つの平面の式を引くと
$2(x + y - z - 1) - (2x + 4y - 5z - 2) = -2y + 3z = 0$
よって $y = \dfrac{3}{2}z$ であり, $\alpha$ の式に代入すると
$x + \dfrac{3}{2}z - z - 1 = 0$
整理すると $x = -\dfrac{1}{2}z + 1$
よって $z = 2t$ とすれば, 求める直線の媒介変数表示は
$\left\{ \begin{aligned} x &= 1-t \\ y &= 3t \\ z &= 2t \end{aligned} \right.$
となる。