次の $2$ つの平面のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\alpha_1: 5x + 5y + 2z -10 = 0,~~~\alpha_2 : 4x + 3y + 5z + 23=0$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{2}$
$2$ つの平面 $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ とした時, $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角 $\theta$ を $2$ つの平面 $\alpha_1$ と $\alpha_2$ のなす角という。
ただし、ここで $\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ を選ぶものとする。
$\alpha_1$ と $\alpha_2$ の方程式の形から
$\overrightarrow{n_1} = (5,5,2),~~~\overrightarrow{n_2} = (4,3,5)$
はそれぞれ $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルである。
$\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} }{ |\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} = \dfrac{ 20 + 15 + 10 }{ \sqrt{54} \sqrt{50} } = \dfrac{ 45 }{ 30\sqrt{3} } = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ より $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ である。
次の $2$ つの平面のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\alpha_1: 5x + 4y + 3z -19 = 0,~~~\alpha_2 : 2x + 2y - z - 7=0$
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{2}$
$2$ つの平面 $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ とした時, $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角 $\theta$ を $2$ つの平面 $\alpha_1$ と $\alpha_2$ のなす角という。
ただし、ここで $\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ を選ぶものとする。
$\alpha_1$ と $\alpha_2$ の方程式の形から
$\overrightarrow{n_1} = (5,4,3),~~~\overrightarrow{n_2} = (2,2,-1)$
はそれぞれ $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルである。
$\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} }{ |\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} = \dfrac{ 10 + 8 - 3 }{ \sqrt{50} \sqrt{9} } = \dfrac{ 15 }{ 15\sqrt{2} } = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ より $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ である。
次の $2$ つの平面のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\alpha_1: 5x - 4y + 3z - 31 = 0,~~~\alpha_2 : 5x - 3y - 4z + 30=0$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{2}$
$2$ つの平面 $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ とした時, $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角 $\theta$ を $2$ つの平面 $\alpha_1$ と $\alpha_2$ のなす角という。
ただし、ここで $\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ を選ぶものとする。
$\alpha_1$ と $\alpha_2$ の方程式の形から
$\overrightarrow{n_1} = (5,-4,3),~~~\overrightarrow{n_2} = (5,-3,-4)$
はそれぞれ $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルである。
$\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} }{ |\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} = \dfrac{ 25 + 12 - 12 }{ \sqrt{50} \sqrt{50} } = \dfrac{ 25 }{ 50 } = \dfrac{1}{2}$
$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ より $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ である。
次の $2$ つの平面のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\alpha_1: 2x - 3y + z -16 = 0,~~~\alpha_2 : 4x + 3y + z + 11=0$
$\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$2$ つの平面 $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ とした時, $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角 $\theta$ を $2$ つの平面 $\alpha_1$ と $\alpha_2$ のなす角という。
ただし、ここで $\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ を選ぶものとする。
$\alpha_1$ と $\alpha_2$ の方程式の形から
$\overrightarrow{n_1} = (2,-3,1),~~~\overrightarrow{n_2} = (4,3,1)$
はそれぞれ $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルである。
$\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} }{ |\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} = \dfrac{ 8 - 9 + 1 }{ \sqrt{14} \sqrt{26} } = 0$
$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ より $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ である。
次の $2$ つの平面のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\alpha_1: x + 2y + 2z - 10 = 0,~~~\alpha_2 : 3x + 6y + 6z + 5=0$
$0$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{\pi}{4}$
$2$ つの平面 $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ とした時, $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角 $\theta$ を $2$ つの平面 $\alpha_1$ と $\alpha_2$ のなす角という。
ただし、ここで $\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ を選ぶものとする。
$\alpha_1$ と $\alpha_2$ の方程式の形から
$\overrightarrow{n_1} = (1,2,2),~~~\overrightarrow{n_2} = (3,6,6)$
はそれぞれ $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルである。
$\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} }{ |\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} = \dfrac{ 3 + 12 + 12 }{ \sqrt{9} \sqrt{81} } = \dfrac{ 27 }{ 27 } = 1$
$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ より $\theta = 0$ である。