$3$ 点 ${\rm A}( -4 , 4 , 1 )$, ${\rm B}( 1 , 2 , 1 )$, ${\rm C}( 1 , -2 , 4 )$ を通る平面の方程式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$6x + 15y + 20z - 56 =0$
$6x + 3y + 4z + 8 =0$
$3x + 5y + 15z - 23 =0$
$x + 5y + 10z - 26 =0$
求める平面と垂直なベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2,n_3)$ とすると
$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} =0$
が成り立つ。
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (5,-2,0)$
また
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (5,-6,3)$
より
$\left\{ \begin{aligned} 5n_1 - 2n_2 &= 0 \\ 5n_1 - 6n_2 + 3n_3 &=0 \end{aligned} \right.$
この $2$ つの式から
$n_2 = \dfrac{5}{2}n_1$, $~~n_3 = \dfrac{10}{3}n_1$
を得る。$\overrightarrow{n}$ に代入すると
$\overrightarrow{n} = \left( n_1,~\dfrac{5}{2}n_1,~\dfrac{10}{3}n_1 \right) = \dfrac{n_1}{6} ( 6, 15, 20)$
よって求める平面は点 ${\rm A}(-4,4,1)$ を通りベクトル $(6,15,20)$ に垂直な平面である。
以上から, 平面の方程式は
$6(x+4) + 15(y-4)+ 20(z-1) = 0$
整理すると $6x + 15y + 20z - 56 =0$ となる。
$3$ 点 ${\rm A}( -4 , 3 , -5 )$, ${\rm B}( 3 , 0 , 1 )$, ${\rm C}( -5 , 3 , -1 )$ を通る平面の方程式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$12x + 34y + 3z - 39 =0$
$4x + 34y + 3z - 15 =0$
$4x + 11y + 3z - 2 =0$
$12x + 11y + 3z +30 =0$
求める平面と垂直なベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2,n_3)$ とすると
$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} =0$
が成り立つ。
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (7,-3,6)$
また
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-1,0,4)$
より
$\left\{ \begin{aligned} 7n_1 - 3n_2 + 6n_3 &= 0 \\ -n_1 + 4n_3 &=0 \end{aligned} \right.$
この $2$ つの式から
$n_1 = 4n_3$, $~~n_2 = \dfrac{34}{3}n_3$
を得る。$\overrightarrow{n}$ に代入すると
$\overrightarrow{n} = \left( 4n_3,~\dfrac{34}{3}n_3,~n_3 \right) = \dfrac{n_3}{3} ( 12, 34, 3)$
よって求める平面は点 ${\rm B}(3,0,1)$ を通りベクトル $(12,34,3)$ に垂直な平面である。
以上から, 平面の方程式は
$12(x - 3) + 34y + 3(z-1) = 0$
整理すると $12x + 34y + 3z - 39 =0$ となる。
$3$ 点 ${\rm A}( 2 , -4 , 2 )$, ${\rm B}( -3 , -1 , 2 )$, ${\rm C}( -3 , 2 , 0 )$ を通る平面の方程式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$6x + 10y + 15z - 2 =0$
$6x + 10y + 15z + 6 =0$
$6x + 5y + 5z + 8 =0$
$6x + 5y + 5z -2 =0$
求める平面と垂直なベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2,n_3)$ とすると
$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} =0$
が成り立つ。
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-5,3,0)$
また
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-5,6,-2)$
より
$\left\{ \begin{aligned} -5n_1 + 3n_2 &= 0 \\ -5n_1 + 6n_2 - 2n_3 &=0 \end{aligned} \right.$
この $2$ つの式から
$n_2 = \dfrac{5}{3}n_1$, $~~n_3 = \dfrac{5}{2}n_1$
を得る。$\overrightarrow{n}$ に代入すると
$\overrightarrow{n} = \left( n_1,~\dfrac{5}{3}n_1,~\dfrac{5}{2}n_1 \right) = \dfrac{n_1}{6} ( 6, 10, 15)$
よって求める平面は点 ${\rm C}(-3,2,0)$ を通りベクトル $(6,10,15)$ に垂直な平面である。
以上から, 平面の方程式は
$6(x+3) + 10(y-2)+ 15z = 0$
整理すると $6x + 10y + 15z - 2 =0$ となる。
$3$ 点 ${\rm A}( 2 , -1 , -1 )$, ${\rm B}( -4 , 3 , 2 )$, ${\rm C}( -2 , 2 , -4 )$ を通る平面の方程式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$21x + 30y + 2z - 10 =0$
$7x + 10y + z - 3 =0$
$21x + 10y + 2z - 30 =0$
$7x + 30y + 34z + 50 =0$
求める平面と垂直なベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2,n_3)$ とすると
$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} =0$
が成り立つ。
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-6,4,3)$
また
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-4,3,-3)$
より
$\left\{ \begin{aligned} -6n_1 + 4n_2 + 3n_3 &= 0 \\ -4n_1 + 3n_2 - 3n_3 &=0 \end{aligned} \right.$
この $2$ つの式から
$n_2 = \dfrac{10}{7}n_1$, $~~n_3 = \dfrac{2}{21}n_1$
を得る。$\overrightarrow{n}$ に代入すると
$\overrightarrow{n} = \left( n_1,~\dfrac{10}{7}n_1,~\dfrac{2}{21}n_1 \right) = \dfrac{n_1}{21} ( 21, 30, 2)$
よって求める平面は点 ${\rm A}(2,-1,-1)$ を通りベクトル $(21,30,2)$ に垂直な平面である。
以上から, 平面の方程式は
$21(x-2) + 30(y+1) + 2(z+1) = 0$
整理すると $21x + 30y + 2z - 10 =0$ となる。
$3$ 点 ${\rm A}( 3 , -2 , 4 )$, ${\rm B}( -1 , 0 , 3 )$, ${\rm C}( 0 , 2 , 1 )$ を通る平面の方程式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$2x + 9y + 10z - 28 =0$
$2x + 3y - z + 5 =0$
$2x + 15y + 9z - 12 =0$
$2x + 12y + 7z - 10 =0$
求める平面と垂直なベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2,n_3)$ とすると
$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} =0$
が成り立つ。
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-4,2,-1)$
また
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-3,4,-3)$
より
$\left\{ \begin{aligned} -4n_1 + 2n_2 - n_3 &= 0 \\ -3n_1 + 4n_2 - 3n_3 &=0 \end{aligned} \right.$
この $2$ つの式から
$n_2 = \dfrac{9}{2}n_1$, $~~n_3 = 5n_1$
を得る。$\overrightarrow{n}$ に代入すると
$\overrightarrow{n} = \left( n_1,~\dfrac{9}{2}n_1,~5n_1 \right) = \dfrac{n_1}{2} ( 2, 9, 10)$
よって求める平面は点 ${\rm A}(-1,0,3)$ を通りベクトル $(2,9,10)$ に垂直な平面である。
以上から, 平面の方程式は
$2(x+1) + 9y + 10(z-3) = 0$
整理すると $2x + 9y + 10z - 28 =0$ となる。