次の方程式で表される平面と直線の交点の座標を以下の選択肢から選びなさい。
$7x - 4y - 2z -10 = 0$ $~~~-\dfrac{x+4}{4} = \dfrac{y-2}{8} = -\dfrac{z+2}{9}$
$(0,-6,7)$
$(-4,-2,-2)$
$(0,10,7)$
$(4,-14,16)$
直線の方程式から
$y = -2(x+4) + 2$
$z = \dfrac{9}{4}(x+4) - 2$
これらを平面の方程式に代入すると
$7x -4 \left( -2(x+4) + 2 \right) - 2 \left( \dfrac{9}{4}(x+4) -2 \right) -10=0$
整理すると $\dfrac{21}{2}x =0$ より $x=0$ である。よって
$y = -8+2 = -6$, $~~z = 9 - 2 = 7$
となるので交点の座標は $(0,-6,7)$ である。
次の方程式で表される平面と直線の交点の座標を以下の選択肢から選びなさい。
$4x - y + 2z + 24 = 0$ $~~~\dfrac{x+6}{5} = \dfrac{y+6}{6} = \dfrac{z+3}{4}$
$(-6,-6,-3)$
$(6,6,3)$
$(-6,-6,3)$
$(6,6,-3)$
直線の方程式から
$y = \dfrac{6}{5}(x+6) - 6$
$z = \dfrac{4}{5}(x+6) - 3$
これらを平面の方程式に代入すると
$4x - \left( \dfrac{6}{5}(x+6) - 6 \right) + 2 \left( \dfrac{4}{5}(x+6) - 3 \right) + 24 = 0$
整理すると $22x = -132$ より $x=-6$ である。よって
$y = 0-6 = -6$, $~~z = 0 - 3 = -3$
となるので交点の座標は $(-6,-6,-3)$ である。
次の方程式で表される平面と直線の交点の座標を以下の選択肢から選びなさい。
$x - 7y - 7z + 21 = 0$ $~~~-\dfrac{x+3}{2} = -\dfrac{y-8}{7} = \dfrac{z-4}{2}$
$(-7,-6,8)$
$(-3,8,4)$
$(-5,1,6)$
$(-1,15,2)$
直線の方程式から
$y = \dfrac{7}{2}(x+3) + 8$
$z = - (x+3) + 4$
これらを平面の方程式に代入すると
$x - 7 \left( \dfrac{7}{2}(x+3) + 8 \right) - 7 \left( -(x+3) + 4 \right) + 21 = 0$
整理すると $-33x = 231$ より $x=-7$ である。よって
$y = -14+8 = -6$, $~~z = 4 + 4 = 8$
となるので交点の座標は $(-7,-6,8)$ である。
次の方程式で表される平面と直線の交点の座標を以下の選択肢から選びなさい。
$y + 7z - 42 = 0$ $~~~\dfrac{x-10}{3} = \dfrac{y-3}{4} = \dfrac{z+2}{7}$
$(13,7,5)$
$(10,3,-2)$
$(7,-1,-9)$
$(16,11,12)$
直線の方程式から
$y = \dfrac{4}{3}(x-10) + 3$
$z = \dfrac{7}{3}(x-10) - 2$
これらを平面の方程式に代入すると
$\left( \dfrac{4}{3}(x-10) + 3 \right) + 7 \left( \dfrac{7}{3}(x-10) -2 \right) - 42 = 0$
整理すると $53x =689$ より $x=13$ である。よって
$y = 4+3 = 7$, $~~z = 7 - 2 = 5$
となるので交点の座標は $(13,7,5)$ である。
次の方程式で表される平面と直線の交点の座標を以下の選択肢から選びなさい。
$5x - 3z - 35 = 0$ $~~~\dfrac{x-5}{2} = \dfrac{y-6}{11} = \dfrac{z-10}{10}$
$(1,-16,-10)$
$(5,6,10)$
$(9,28,20)$
$(3,-5,0)$
直線の方程式から
$y = \dfrac{11}{2}(x-5) + 6$
$z = 5(x-5) + 10$
これらを平面の方程式に代入すると
$5x -3 \left( 5(x-5) + 10 \right) - 35 = 0$
整理すると $-10x =-10$ より $x=1$ である。よって
$y = -22 + 6 = -16$, $~~z = -20 + 10 = -10$
となるので交点の座標は $(1,-16,-10)$ である。