求める平面と垂直なベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2,n_3)$ とすると

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} =0$

が成り立つ。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-6,4,3)$

また

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-4,3,-3)$

より

$\left\{ \begin{aligned} -6n_1 + 4n_2 + 3n_3 &= 0 \\ -4n_1 + 3n_2  - 3n_3 &=0 \end{aligned} \right.$

この $2$ つの式から

$n_2 = \dfrac{10}{7}n_1$, $~~n_3 = \dfrac{2}{21}n_1$

を得る。$\overrightarrow{n}$ に代入すると

$\overrightarrow{n} = \left( n_1,~\dfrac{10}{7}n_1,~\dfrac{2}{21}n_1 \right) = \dfrac{n_1}{21} ( 21, 30, 2)$

よって求める平面は点 ${\rm A}(2,-1,-1)$ を通りベクトル $(21,30,2)$ に垂直な平面である。

以上から, 平面の方程式は

$21(x-2) + 30(y+1) + 2(z+1) = 0$

整理すると $21x + 30y + 2z - 10 =0$ となる。