2つの平面がなす角
1
次の $2$ つの平面のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\alpha_1: 5x + 5y + 2z -10 = 0,~~~\alpha_2 : 4x + 3y + 5z + 23=0$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{2}$
$2$ つの平面 $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ とした時, $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角 $\theta$ を $2$ つの平面 $\alpha_1$ と $\alpha_2$ のなす角という。
ただし、ここで $\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ を選ぶものとする。
$\alpha_1$ と $\alpha_2$ の方程式の形から
$\overrightarrow{n_1} = (5,5,2),~~~\overrightarrow{n_2} = (4,3,5)$
はそれぞれ $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルである。
$\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} }{ |\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} = \dfrac{ 20 + 15 + 10 }{ \sqrt{54} \sqrt{50} } = \dfrac{ 45 }{ 30\sqrt{3} } = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ より $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ である。
2
次の $2$ つの平面のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\alpha_1: 5x + 4y + 3z -19 = 0,~~~\alpha_2 : 2x + 2y - z - 7=0$
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{2}$
$2$ つの平面 $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ とした時, $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角 $\theta$ を $2$ つの平面 $\alpha_1$ と $\alpha_2$ のなす角という。
ただし、ここで $\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ を選ぶものとする。
$\alpha_1$ と $\alpha_2$ の方程式の形から
$\overrightarrow{n_1} = (5,4,3),~~~\overrightarrow{n_2} = (2,2,-1)$
はそれぞれ $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルである。
$\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} }{ |\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} = \dfrac{ 10 + 8 - 3 }{ \sqrt{50} \sqrt{9} } = \dfrac{ 15 }{ 15\sqrt{2} } = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ より $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ である。
3
次の $2$ つの平面のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\alpha_1: 5x - 4y + 3z - 31 = 0,~~~\alpha_2 : 5x - 3y - 4z + 30=0$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{2}$
$2$ つの平面 $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ とした時, $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角 $\theta$ を $2$ つの平面 $\alpha_1$ と $\alpha_2$ のなす角という。
ただし、ここで $\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ を選ぶものとする。
$\alpha_1$ と $\alpha_2$ の方程式の形から
$\overrightarrow{n_1} = (5,-4,3),~~~\overrightarrow{n_2} = (5,-3,-4)$
はそれぞれ $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルである。
$\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} }{ |\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} = \dfrac{ 25 + 12 - 12 }{ \sqrt{50} \sqrt{50} } = \dfrac{ 25 }{ 50 } = \dfrac{1}{2}$
$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ より $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ である。
4
次の $2$ つの平面のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\alpha_1: 2x - 3y + z -16 = 0,~~~\alpha_2 : 4x + 3y + z + 11=0$
$\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$2$ つの平面 $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ とした時, $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角 $\theta$ を $2$ つの平面 $\alpha_1$ と $\alpha_2$ のなす角という。
ただし、ここで $\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ を選ぶものとする。
$\alpha_1$ と $\alpha_2$ の方程式の形から
$\overrightarrow{n_1} = (2,-3,1),~~~\overrightarrow{n_2} = (4,3,1)$
はそれぞれ $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルである。
$\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} }{ |\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} = \dfrac{ 8 - 9 + 1 }{ \sqrt{14} \sqrt{26} } = 0$
$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ より $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ である。
5
次の $2$ つの平面のなす角として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\alpha_1: x + 2y + 2z - 10 = 0,~~~\alpha_2 : 3x + 6y + 6z + 5=0$
$0$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{\pi}{4}$
$2$ つの平面 $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ とした時, $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角 $\theta$ を $2$ つの平面 $\alpha_1$ と $\alpha_2$ のなす角という。
ただし、ここで $\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ を選ぶものとする。
$\alpha_1$ と $\alpha_2$ の方程式の形から
$\overrightarrow{n_1} = (1,2,2),~~~\overrightarrow{n_2} = (3,6,6)$
はそれぞれ $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルである。
$\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} }{ |\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} = \dfrac{ 3 + 12 + 12 }{ \sqrt{9} \sqrt{81} } = \dfrac{ 27 }{ 27 } = 1$
$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ より $\theta = 0$ である。
平面の法線ベクトル
1
次の方程式で表される平面の法線ベクトルであるものを以下の選択肢から選びなさい。
$4x+6y+8z + 5 =0$
$(2,3,4)$
$(4,5,6)$
$(1,2,3)$
$(8,6,4)$
ベクトル $\overrightarrow{n} = (a,b,c)$ を法線ベクトルに持つ平面の方程式は
$ax+by+cz+d=0~~$ ($d$ はある定数)
と表せるので, $\overrightarrow{n} = (4,6,8)$ とすると $\overrightarrow{n}$ はこの平面の法線ベクトルである。
$(2,3,4) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{n}$
より, ベクトル $(2,3,4)$ と $\overrightarrow{n}$ はたがいに平行であるから $(2,3,4)$ もこの平面の法線ベクトルである。
2
次の方程式で表される平面の法線ベクトルであるものを以下の選択肢から選びなさい。
$2x - y + 2z - 3 =0$
$(-2,1,-2)$
$(2,1,2)$
$(-2,-1,-2)$
$(2,1,-2)$
ベクトル $\overrightarrow{n} = (a,b,c)$ を法線ベクトルに持つ平面の方程式は
$ax+by+cz+d=0~~$ ($d$ はある定数)
と表せるので, $\overrightarrow{n} = (2,-1,2)$ とすると $\overrightarrow{n}$ はこの平面の法線ベクトルである。
$(-2,1,-2) = -\overrightarrow{n}$
より, ベクトル $(-2,1,-2)$ と $\overrightarrow{n}$ はたがいに平行であるから $(-2,1,-2)$ もこの平面の法線ベクトルである。
3
次の方程式で表される平面の法線ベクトルであるものを以下の選択肢から選びなさい。
$2x - 3y - z - 19 =0$
$(-4,6,2)$
$(2,3,1)$
$(-1,2,1)$
$(8,-10,-4)$
ベクトル $\overrightarrow{n} = (a,b,c)$ を法線ベクトルに持つ平面の方程式は
$ax+by+cz+d=0~~$ ($d$ はある定数)
と表せるので, $\overrightarrow{n} = (2,-3,-1)$ とすると $\overrightarrow{n}$ はこの平面の法線ベクトルである。
$(-4,6,2) = -2\overrightarrow{n}$
より, ベクトル $(-4,6,2)$ と $\overrightarrow{n}$ はたがいに平行であるから $(-4,6,2)$ もこの平面の法線ベクトルである。
4
次の方程式で表される平面の法線ベクトルであるものを以下の選択肢から選びなさい。
$4x+5y+2z + 22 =0$
$(12,15,6)$
$(8,9,6)$
$(2,3,1)$
$(15,20,10)$
ベクトル $\overrightarrow{n} = (a,b,c)$ を法線ベクトルに持つ平面の方程式は
$ax+by+cz+d=0~~$ ($d$ はある定数)
と表せるので, $\overrightarrow{n} = (4,5,2)$ とすると $\overrightarrow{n}$ はこの平面の法線ベクトルである。
$(12,15,6) = 3\overrightarrow{n}$
より, ベクトル $(12,15,6)$ と $\overrightarrow{n}$ はたがいに平行であるから $(12,15,6)$ もこの平面の法線ベクトルである。
5
次の方程式で表される平面の法線ベクトルであるものを以下の選択肢から選びなさい。
$6x+2y+3z - 23 =0$
$\left(1,~\dfrac{1}{3},~\dfrac{1}{2} \right)$
$\left(1,~\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{3} \right)$
$\left(\dfrac{1}{6},~\dfrac{1}{3},~\dfrac{1}{2}\right)$
$\left(\dfrac{1}{6},~\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{3}\right)$
ベクトル $\overrightarrow{n} = (a,b,c)$ を法線ベクトルに持つ平面の方程式は
$ax+by+cz+d=0~~$ ($d$ はある定数)
と表せるので, $\overrightarrow{n} = (6,2,3)$ とすると $\overrightarrow{n}$ はこの平面の法線ベクトルである。
$\left(1,~\dfrac{1}{3},~\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{6}\overrightarrow{n}$
より, ベクトル $\left(1,~\dfrac{1}{3},~\dfrac{1}{2}\right)$ と $\overrightarrow{n}$ はたがいに平行であるから $\left(1,~\dfrac{1}{3},~\dfrac{1}{2}\right)$ もこの平面の法線ベクトルである。