求める平面と垂直なベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2,n_3)$ とすると

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} =0$

が成り立つ。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (5,-2,0)$

また

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (5,-6,3)$

より

$\left\{ \begin{aligned} 5n_1 - 2n_2 &= 0 \\ 5n_1 - 6n_2  + 3n_3 &=0 \end{aligned} \right.$

この $2$ つの式から

$n_2 = \dfrac{5}{2}n_1$, $~~n_3 = \dfrac{10}{3}n_1$

を得る。$\overrightarrow{n}$ に代入すると

$\overrightarrow{n} = \left( n_1,~\dfrac{5}{2}n_1,~\dfrac{10}{3}n_1 \right) = \dfrac{n_1}{6} ( 6, 15, 20)$

よって求める平面は点 ${\rm A}(-4,4,1)$ を通りベクトル $(6,15,20)$ に垂直な平面である。

以上から, 平面の方程式は

$6(x+4) + 15(y-4)+ 20(z-1) = 0$

整理すると $6x + 15y + 20z - 56 =0$ となる。