求める平面と垂直なベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2,n_3)$ とすると

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} =0$

が成り立つ。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (7,-3,6)$

また

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-1,0,4)$

より

$\left\{ \begin{aligned} 7n_1 - 3n_2 + 6n_3 &= 0 \\ -n_1 + 4n_3 &=0 \end{aligned} \right.$

この $2$ つの式から

$n_1 = 4n_3$, $~~n_2 = \dfrac{34}{3}n_3$

を得る。$\overrightarrow{n}$ に代入すると

$\overrightarrow{n} = \left( 4n_3,~\dfrac{34}{3}n_3,~n_3 \right) = \dfrac{n_3}{3} ( 12, 34, 3)$

よって求める平面は点 ${\rm B}(3,0,1)$ を通りベクトル $(12,34,3)$ に垂直な平面である。

以上から, 平面の方程式は

$12(x - 3) + 34y + 3(z-1) = 0$

整理すると $12x + 34y + 3z - 39 =0$ となる。