求める平面と垂直なベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2,n_3)$ とすると

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} =0$

が成り立つ。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-5,3,0)$

また

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-5,6,-2)$

より

$\left\{ \begin{aligned} -5n_1 + 3n_2 &= 0 \\ -5n_1 +  6n_2  - 2n_3 &=0 \end{aligned} \right.$

この $2$ つの式から

$n_2 = \dfrac{5}{3}n_1$, $~~n_3 = \dfrac{5}{2}n_1$

を得る。$\overrightarrow{n}$ に代入すると

$\overrightarrow{n} = \left( n_1,~\dfrac{5}{3}n_1,~\dfrac{5}{2}n_1 \right) = \dfrac{n_1}{6} ( 6, 10, 15)$

よって求める平面は点 ${\rm C}(-3,2,0)$ を通りベクトル $(6,10,15)$ に垂直な平面である。

以上から, 平面の方程式は

$6(x+3) + 10(y-2)+ 15z = 0$

整理すると $6x + 10y + 15z - 2 =0$ となる。