求める平面と垂直なベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2,n_3)$ とすると

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} =0$

が成り立つ。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-4,2,-1)$

また

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-3,4,-3)$

より

$\left\{ \begin{aligned} -4n_1 + 2n_2 - n_3 &= 0 \\ -3n_1 + 4n_2  - 3n_3 &=0 \end{aligned} \right.$

この $2$ つの式から

$n_2 = \dfrac{9}{2}n_1$, $~~n_3 = 5n_1$

を得る。$\overrightarrow{n}$ に代入すると

$\overrightarrow{n} = \left( n_1,~\dfrac{9}{2}n_1,~5n_1 \right) = \dfrac{n_1}{2} ( 2, 9, 10)$

よって求める平面は点 ${\rm A}(-1,0,3)$ を通りベクトル $(2,9,10)$ に垂直な平面である。

以上から, 平面の方程式は

$2(x+1) + 9y + 10(z-3) = 0$

整理すると $2x + 9y + 10z - 28 =0$ となる。