直線の方程式
1
$2$ 点 ${\rm A}(3,1,-1)$, ${\rm B}(5,3,3)$ を通る直線の方程式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{x-3}{2} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z+1}{4}$
$\dfrac{x-5}{2} = \dfrac{y-3}{2} = \dfrac{z-3}{2}$
$\dfrac{x-5}{2} = \dfrac{y-3}{2} = \dfrac{z+3}{4}$
$\dfrac{x-3}{2} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z+1}{2}$
点 $(x_0,y_0,z_0)$ を通り, 方向ベクトルが $(v_x,v_y,v_z)$ (ただし $v_x\not=0$, $v_y\not=0$, $v_z\not=0$ )である直線の方程式は
$\dfrac{x-x_0}{v_x} = \dfrac{y-y_0}{v_y} = \dfrac{z-z_0}{v_z}$
と表せる。
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (2,2,4)$
点 ${\rm A}$ を通るので, 直線の方程式は
$\dfrac{x-3}{2} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z+1}{4}$
2
$2$ 点 ${\rm A}(-3,-3,-4)$, ${\rm B}(2,4,1)$ を通る直線の方程式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{x+3}{5} = \dfrac{y+3}{7} = \dfrac{z+4}{5}$
$-\dfrac{x+3}{5} = \dfrac{y+3}{7} = -\dfrac{z+4}{5}$
$-\dfrac{x-2}{5} = \dfrac{y-4}{7} = \dfrac{z-1}{5}$
$\dfrac{x-2}{5} = \dfrac{y-4}{7} = -\dfrac{z-1}{5}$
点 $(x_0,y_0,z_0)$ を通り, 方向ベクトルが $(v_x,v_y,v_z)$ (ただし $v_x\not=0$, $v_y\not=0$, $v_z\not=0$ )である直線の方程式は
$\dfrac{x-x_0}{v_x} = \dfrac{y-y_0}{v_y} = \dfrac{z-z_0}{v_z}$
と表せる。
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (5,7,5)$
点 ${\rm A}$ を通るので, 直線の方程式は
$\dfrac{x+3}{5} = \dfrac{y+3}{7} = \dfrac{z+4}{5}$
3
$2$ 点 ${\rm A}(2,-4,-1)$, ${\rm B}(-3,3,3)$ を通る直線の方程式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$-\dfrac{x-2}{5} = \dfrac{y+4}{7} = \dfrac{z+1}{4}$
$\dfrac{x-2}{5} = \dfrac{y+4}{7} = \dfrac{z+1}{4}$
$-\dfrac{x-3}{5} = \dfrac{y-3}{7} = \dfrac{z-3}{4}$
$\dfrac{x+3}{5} = \dfrac{y-3}{7} = \dfrac{z-3}{4}$
点 $(x_0,y_0,z_0)$ を通り, 方向ベクトルが $(v_x,v_y,v_z)$ (ただし $v_x\not=0$, $v_y\not=0$, $v_z\not=0$ )である直線の方程式は
$\dfrac{x-x_0}{v_x} = \dfrac{y-y_0}{v_y} = \dfrac{z-z_0}{v_z}$
と表せる。
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-5,7,4)$
点 ${\rm A}$ を通るので, 直線の方程式は
$-\dfrac{x-2}{5} = \dfrac{y+4}{7} = \dfrac{z+1}{4}$
4
$2$ 点 ${\rm A}(-2,-4,-2)$, ${\rm B}(-4,-3,2)$ を通る直線の方程式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$-\dfrac{x+4}{2} = y+3 = \dfrac{z-2}{4}$
$\dfrac{x-4}{2} = y+3 = \dfrac{z-2}{4}$
$-\dfrac{x+2}{2} = -y-4 = \dfrac{z+2}{4}$
$\dfrac{x+2}{2} = -y-4 = \dfrac{z+2}{4}$
点 $(x_0,y_0,z_0)$ を通り, 方向ベクトルが $(v_x,v_y,v_z)$ (ただし $v_x\not=0$, $v_y\not=0$, $v_z\not=0$ )である直線の方程式は
$\dfrac{x-x_0}{v_x} = \dfrac{y-y_0}{v_y} = \dfrac{z-z_0}{v_z}$
と表せる。
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-2,1,4)$
点 ${\rm B}$ を通るので, 直線の方程式は
$-\dfrac{x+4}{2} = y+3 = \dfrac{z-2}{4}$
5
$2$ 点 ${\rm A}(-3,2,-1)$, ${\rm B}(-1,4,4)$ を通る直線の方程式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y-4}{2} = \dfrac{z-4}{5}$
$-\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y-4}{2} = \dfrac{z-4}{5}$
$-\dfrac{x+3}{2} = \dfrac{y-2}{2} = \dfrac{z+1}{5}$
$\dfrac{x+3}{2} = \dfrac{y-2}{2} = -\dfrac{z+1}{5}$
点 $(x_0,y_0,z_0)$ を通り, 方向ベクトルが $(v_x,v_y,v_z)$ (ただし $v_x\not=0$, $v_y\not=0$, $v_z\not=0$ )である直線の方程式は
$\dfrac{x-x_0}{v_x} = \dfrac{y-y_0}{v_y} = \dfrac{z-z_0}{v_z}$
と表せる。
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (2,2,5)$
点 ${\rm B}$ を通るので, 直線の方程式は
$\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y-4}{2} = \dfrac{z-4}{5}$
直交するベクトルの計算
1
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}= ( -5, -5, 0)$, $\overrightarrow{b} = (-1, -2, -2)$ の両方に垂直な単位ベクトルのうち $x$ 成分が正であるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( \dfrac{2}{3},~-\dfrac{2}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( 2,-2,1 \right)$
$\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}},~-\dfrac{2}{\sqrt{3}},~\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)$
$\left( \dfrac{2}{3},~-\dfrac{2}{3},~-\dfrac{1}{3} \right)$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを
$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$
とすると
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = -5x - 5y + 0 =0$
より $y = -x$ である。また
$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = -x - 2y - 2z =0$
であり $y = -x$ を代入すると $x = 2z$ となる。よって
$\overrightarrow{e} = ( 2z, -2z , z) = z(2, -2, 1)$
ここで
$|(2,-2,1)| = \sqrt{4+4+1} = 3$
かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{3}$ であり,
$x$ 成分が正であることから $z = \dfrac{1}{3}$ である。よって
$\overrightarrow{e} = \left( \dfrac{2}{3},~-\dfrac{2}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
2
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}= ( -5, -3, -4)$, $\overrightarrow{b} = (1, 2, -2)$ の両方に垂直な単位ベクトルのうち $x$ 成分が負であるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( -\dfrac{2}{3},~\dfrac{2}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( -\dfrac{2}{3},~\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( -\dfrac{2}{9},~\dfrac{2}{9},~\dfrac{1}{9} \right)$
$\left( -\dfrac{2}{9},~\dfrac{2}{9},-\dfrac{1}{9} \right)$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを
$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$
とすると
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = 0$
より
$\left\{ \begin{aligned} -5x - 3y - 4z &=0 \\[1em] x + 2y - 2z &=0 \end{aligned} \right.$
ここから
$(-5x - 3y - 4z) - 2(x + 2y -2z ) = -7x -7y = 0$
よって $y = -x$ であり, これを $2$ つ目の式に代入すると
$x - 2x -2z = -x -2z =0$
より $x = -2z$ となる。よって
$\overrightarrow{e} = ( -2z, 2z , z) = z(-2, 2, 1)$
ここで
$|(-2,2,1)| = \sqrt{4+4+1} = 3$
かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{3}$ であり,
$x$ 成分が負であることから $z = \dfrac{1}{3}$ である。よって
$\overrightarrow{e} = \left( -\dfrac{2}{3},~\dfrac{2}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
3
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}= ( -3, 1, 4)$, $\overrightarrow{b} = (-1, 0, 4)$ の両方に垂直な単位ベクトルのうち $y$ 成分が正であるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( \dfrac{4}{9},~\dfrac{8}{9},~\dfrac{1}{9} \right)$
$\left( -\dfrac{4}{9},~\dfrac{8}{9},-\dfrac{1}{9} \right)$
$\left( \dfrac{1}{2},~1,~\dfrac{1}{8} \right)$
$\left( -\dfrac{1}{2},~1,-\dfrac{1}{8} \right)$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを
$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$
とすると
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = 0$
より
$\left\{ \begin{aligned} -3x + y + 4z &=0 \\[1em] -x + 4z &=0 \end{aligned} \right.$
である。 $x = 4z$ であるから, $1$ つ目の式に代入すると
$-12z + y + 4z =0$
よって $y = 8z$ となる。よって
$\overrightarrow{e} = (4z, 8z , z) = z(4, 8, 1)$
ここで
$|(4,8,1)| = \sqrt{16+64+1} = 9$
かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{9}$ であり,
$y$ 成分が正であることから $z = \dfrac{1}{9}$ である。よって
$\overrightarrow{e} = \left( \dfrac{4}{9},~\dfrac{8}{9},~\dfrac{1}{9} \right)$
4
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}= ( 4, -5, -2)$, $\overrightarrow{b} = (1, -2, -2)$ の両方に垂直な単位ベクトルのうち $y$ 成分が負であるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( -\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( \dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( -\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3},~\dfrac{2}{3} \right)$
$\left( \dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3} \right)$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを
$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$
とすると
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = 0$
より
$\left\{ \begin{aligned} 4x - 5y - 2z &=0 \\[1em] x - 2y - 2z &=0 \end{aligned} \right.$
ここから
$(4x - 5y - 2z) - (x - 2y -2z ) = 3x -3y = 0$
よって $y = x$ であり, これを $2$ つ目の式に代入すると
$x - 2x -2z = -x -2z =0$
より $x = -2z$ となる。よって
$\overrightarrow{e} = ( -2z, -2z , z) = z(-2, -2, 1)$
ここで
$|(-2,-2,1)| = \sqrt{4+4+1} = 3$
かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{3}$ であり,
$y$ 成分が負であることから $z = \dfrac{1}{3}$ である。よって
$\overrightarrow{e} = \left( -\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
5
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}= ( 1, 2, 0)$, $\overrightarrow{b} = (-1, -3, -4)$ の両方に垂直な単位ベクトルのうち $z$ 成分が正であるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( \dfrac{8}{9},-\dfrac{4}{9},~\dfrac{1}{9} \right)$
$\left( -\dfrac{8}{9},\dfrac{4}{9},~\dfrac{1}{9} \right)$
$\left( \dfrac{8}{3},-\dfrac{4}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( -\dfrac{8}{3},\dfrac{4}{3},~\dfrac{1}{3} \right)$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを
$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$
とすると
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = 0$
より
$\left\{ \begin{aligned} x + 2y &=0 \\[1em] -x - 3y - 4z &=0 \end{aligned} \right.$
ここから $x = -2y$ を $2$ つ目の式に代入すると
$-y-4z=0$
よって $y = -4z$ より
$\overrightarrow{e} = ( 8z, -4z , z) = z(8, -4, 1)$
ここで
$|(8,-4,1)| = \sqrt{64+16+1} = 81$
かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{9}$ であり,
$z$ 成分が正であることから $z = \dfrac{1}{9}$ である。よって
$\overrightarrow{e} = \left( \dfrac{8}{9},-\dfrac{4}{9},~\dfrac{1}{9} \right)$
6
$2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}= ( 1, -5, 8)$, $\overrightarrow{b} = (-7, 3, 8)$ の両方に垂直な単位ベクトルのうち $z$ 成分が負であるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( -\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( \dfrac{2}{3},~\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3} \right)$
$\left( -\dfrac{2}{9},-\dfrac{2}{9},-\dfrac{1}{9} \right)$
$\left( \dfrac{2}{9},\dfrac{2}{9},-\dfrac{1}{9} \right)$
$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを
$\overrightarrow{e} = (x,y,z)$
とすると
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} = 0$
より
$\left\{ \begin{aligned} x - 5y + 8z &=0 \\[1em] -7x + 3y + 8z &=0 \end{aligned} \right.$
ここから
$(x - 5y + 8z) - (-7x + 3y + 8z ) = 8x -8y = 0$
よって $y = x$ であり, これを $1$ つ目の式に代入すると
$x - 5x + 8z = -4x + 8z =0$
より $x = 2z$ となる。よって
$\overrightarrow{e} = ( 2z, 2z , z) = z(2, 2, 1)$
ここで
$|(2,2,1)| = \sqrt{4+4+1} = 3$
かつ $|\overrightarrow{e}| = 1$ であることから $z = \pm \dfrac{1}{3}$ であり,
$z$ 成分が負であることから $z = -\dfrac{1}{3}$ である。よって
$\overrightarrow{e} = \left( -\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3} \right)$