直線 $y=x$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると

$y=x$ は $(1,1)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(1,1)$ は垂直である。よって

$\overrightarrow{n}\cdot (1,1) = n_1+n_2=0$

$n_2=-n_1$ より 

$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=(n_1,-n_1)=n_1(1,-1)$

よって $(1,-1)$ は $y=x$ の法線ベクトルである。

直線 $y=-3x$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると

$y=-3x$ は $(1,-3)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(1,-3)$ は垂直である。よって

$\overrightarrow{n}\cdot (1,-3) = n_1- 3n_2=0$

$n_1=3n_2$ より 

$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=(3n_2,n_2)=n_2(3,1)$

よって $(3,1)$ は $y=-3x$ の法線ベクトルである。

直線 $y=\dfrac{1}{2}x$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると

$y=\dfrac{1}{2}x$ は $(2,1)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(2,1)$ は垂直である。よって

$\overrightarrow{n}\cdot (2,1) = 2n_1+n_2=0$

$n_2=-2n_1$ より 

$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=(n_1,-2n_1)=n_1(1,-2)$

よって $(1,-2)$ は $y=\dfrac{1}{2}x$ の法線ベクトルである。

直線 $y=\dfrac{3}{4}x$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると

$y=\dfrac{3}{4}x$ は $(4,3)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(4,3)$ は垂直である。よって

$\overrightarrow{n}\cdot (4,3) = 4n_1+3n_2=0$

$n_2= - \dfrac{4}{3} n_1$ より 

$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(n_1~,-\dfrac{4}{3}n_1\right)=-\dfrac{1}{3}n_1(-3,4)$

よって $(-3,4)$ と平行なベクトルは $y=\dfrac{3}{4}x$ の法線ベクトルである。

$\left( \dfrac{3}{5}~, -\dfrac{4}{5}\right) = -\dfrac{1}{5}(-3,4)$

より $\left( \dfrac{3}{5}~, -\dfrac{4}{5}\right)$ と $(-3,4)$ は平行であるから

$\left( \dfrac{3}{5}~, -\dfrac{4}{5}\right)$ は $y = \dfrac{3}{4}x$ の法線ベクトルである。

直線 $y=-\dfrac{4}{3}x$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると

$y=-\dfrac{4}{3}x$ は $(3,-4)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(3,-4)$ は垂直である。よって

$\overrightarrow{n}\cdot (3,-4) = 3n_1 - 4n_2=0$

$n_2=\dfrac{3}{4} n_1$ より 

$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(n_1~,\dfrac{3}{4}n_1\right)=\dfrac{1}{4}n_1(4,3)$

よって $(4,3)$ と平行なベクトルは $y=-\dfrac{4}{3}x$ の法線ベクトルである。

$\left( \dfrac{4}{5}~,\dfrac{3}{5}\right) = \dfrac{1}{5} (4,3)$

より $\left( \dfrac{4}{5}~,\dfrac{3}{5}\right)$ と $(4,3)$ は平行であるから

$\left( \dfrac{4}{5}~,\dfrac{3}{5}\right)$ は $y= -\dfrac{4}{3}x$ の法線ベクトルである。

直線 $y=-3x+1$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると

$y=-3x+1$ は $(1,3)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(1,3)$ は垂直である。よって

$\overrightarrow{n}\cdot (1,3) = n_1+3n_2=0$

$n_1 = - 3 n_2$ より 

$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(3 n_2,n_2 \right)=n_2(3,1)$

よって $(3,1)$ は $y=3x+1$ の法線ベクトルである。

直線 $y=-\dfrac{3}{7}x + \dfrac{5}{3}$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると

$y=-\dfrac{3}{7}x + \dfrac{5}{3}$ は $(7,-3)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(7,-3)$ は垂直である。よって

$\overrightarrow{n}\cdot (7,-3) = 7n_1 -  3n_2=0$

$n_2=  \dfrac{7}{3} n_1$ より 

$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(n_1~,\dfrac{7}{3}n_1 \right)= \dfrac{1}{3}n_1(3,7)$

よって $(3,7)$ は $y=-\dfrac{3}{7}x + \dfrac{5}{3}$ の法線ベクトルである。

$4x+2y+3=0$ より

$y = -2x + \dfrac{3}{2}$

であるから $4x+2y+3=0$ は $(1,-2)$ を方向ベクトルに持つ。

よって直線 $4x+2y+3=0$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると

$\overrightarrow{n}$ と $(1,-2)$ は垂直である。

$\overrightarrow{n}\cdot (1,-2) = n_1 - 2n_2=0$

より $n_1= 2 n_2$ となるので 

$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(2n_2,n_2\right) =n_2(2,1)$

よって $(2,1)$ と平行なベクトルは $4x+2y+3=0$ の法線ベクトルである。

$\left( 4, 2\right) = 2(2,1)$

より $\left( 4, 2\right)$ と $(2,1)$ は平行であるから

$\left(4, 2 \right)$ は $4x+2y+3=0$ の法線ベクトルである。

直線 $x=-5$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると

$x=-5$ は $(0,1)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(0,1)$ は垂直である。よって

$\overrightarrow{n}\cdot (0,1) = n_2=0$

より 

$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(n_1,0\right)=n_1(1,0)$

よって $(1,0)$ は $x=-5$ の法線ベクトルである。

$3x - 6y + 5 =0$ より

$y = \dfrac{1}{2} x + \dfrac{5}{6}$

よって直線 $3x-6y+5=0$ は $(2,1)$ を方向ベクトルに持つ。

$3x - 6y + 5=0$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると $\overrightarrow{n}$ と $(2,1)$ は垂直であるから

$\overrightarrow{n}\cdot (2,1) = 2n_1 + n_2 = 0$

$n_2= - 2 n_1$ より 

$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(n_1,-2 n_1\right)=n_1(1,-2)$

よって $(1,-2)$ と平行なベクトルは $3x - 6y + 5 =0$ の法線ベクトルである。

$\left( -\dfrac{1}{\sqrt{5}}~, \dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) = -\dfrac{1}{\sqrt{5}} (1,-2)$

より $\left( -\dfrac{1}{\sqrt{5}}~, \dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)$ と $(1,-2)$ は平行であるから

$\left( -\dfrac{1}{\sqrt{5}}~, \dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)$ は $3x - 6y + 5 =0$ の法線ベクトルである。