直線 $y=x$ の法線ベクトルであるものを以下の選択肢から選びなさい。
$(1,-1)$
$(1,1)$
$(-1,-1)$
$(1,0)$
直線 $y=x$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると
$y=x$ は $(1,1)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(1,1)$ は垂直である。よって
$\overrightarrow{n}\cdot (1,1) = n_1+n_2=0$
$n_2=-n_1$ より
$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=(n_1,-n_1)=n_1(1,-1)$
よって $(1,-1)$ は $y=x$ の法線ベクトルである。
直線 $y=-3x$ の法線ベクトルであるものを以下の選択肢から選びなさい。
$(3,1)$
$(3,-1)$
$(1,3)$
$(-1,3)$
直線 $y=-3x$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると
$y=-3x$ は $(1,-3)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(1,-3)$ は垂直である。よって
$\overrightarrow{n}\cdot (1,-3) = n_1- 3n_2=0$
$n_1=3n_2$ より
$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=(3n_2,n_2)=n_2(3,1)$
よって $(3,1)$ は $y=-3x$ の法線ベクトルである。
直線 $y=\dfrac{1}{2}x$ の法線ベクトルであるものを以下の選択肢から選びなさい。
$(1,-2)$
$(1,2)$
$(2,1)$
$(2,-1)$
直線 $y=\dfrac{1}{2}x$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると
$y=\dfrac{1}{2}x$ は $(2,1)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(2,1)$ は垂直である。よって
$\overrightarrow{n}\cdot (2,1) = 2n_1+n_2=0$
$n_2=-2n_1$ より
$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=(n_1,-2n_1)=n_1(1,-2)$
よって $(1,-2)$ は $y=\dfrac{1}{2}x$ の法線ベクトルである。
直線 $y=\dfrac{3}{4}x$ の法線ベクトルであるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( \dfrac{3}{5}~, -\dfrac{4}{5}\right)$
$\left( \dfrac{3}{5}~, \dfrac{4}{5}\right)$
$(4,3)$
$(3,4)$
直線 $y=\dfrac{3}{4}x$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると
$y=\dfrac{3}{4}x$ は $(4,3)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(4,3)$ は垂直である。よって
$\overrightarrow{n}\cdot (4,3) = 4n_1+3n_2=0$
$n_2= - \dfrac{4}{3} n_1$ より
$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(n_1~,-\dfrac{4}{3}n_1\right)=-\dfrac{1}{3}n_1(-3,4)$
よって $(-3,4)$ と平行なベクトルは $y=\dfrac{3}{4}x$ の法線ベクトルである。
$\left( \dfrac{3}{5}~, -\dfrac{4}{5}\right) = -\dfrac{1}{5}(-3,4)$
より $\left( \dfrac{3}{5}~, -\dfrac{4}{5}\right)$ と $(-3,4)$ は平行であるから
$\left( \dfrac{3}{5}~, -\dfrac{4}{5}\right)$ は $y = \dfrac{3}{4}x$ の法線ベクトルである。
直線 $y=-\dfrac{4}{3}x$ の法線ベクトルであるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( \dfrac{4}{5}~,\dfrac{3}{5}\right)$
$(4,-3)$
$(3,-4)$
$\left(\dfrac{3}{5}~,\dfrac{4}{5}\right)$
直線 $y=-\dfrac{4}{3}x$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると
$y=-\dfrac{4}{3}x$ は $(3,-4)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(3,-4)$ は垂直である。よって
$\overrightarrow{n}\cdot (3,-4) = 3n_1 - 4n_2=0$
$n_2=\dfrac{3}{4} n_1$ より
$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(n_1~,\dfrac{3}{4}n_1\right)=\dfrac{1}{4}n_1(4,3)$
よって $(4,3)$ と平行なベクトルは $y=-\dfrac{4}{3}x$ の法線ベクトルである。
$\left( \dfrac{4}{5}~,\dfrac{3}{5}\right) = \dfrac{1}{5} (4,3)$
より $\left( \dfrac{4}{5}~,\dfrac{3}{5}\right)$ と $(4,3)$ は平行であるから
$\left( \dfrac{4}{5}~,\dfrac{3}{5}\right)$ は $y= -\dfrac{4}{3}x$ の法線ベクトルである。
直線 $y=-3x+1$ の法線ベクトルであるものを以下の選択肢から選びなさい。
$(3,1)$
$(3,-1)$
$(1,3)$
$(-1,3)$
直線 $y=-3x+1$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると
$y=-3x+1$ は $(1,3)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(1,3)$ は垂直である。よって
$\overrightarrow{n}\cdot (1,3) = n_1+3n_2=0$
$n_1 = - 3 n_2$ より
$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(3 n_2,n_2 \right)=n_2(3,1)$
よって $(3,1)$ は $y=3x+1$ の法線ベクトルである。
直線 $y=-\dfrac{3}{7}x + \dfrac{5}{3}$ の法線ベクトルであるものを以下の選択肢から選びなさい。
$(3,7)$
$(-3,7)$
$(7,3)$
$(7,-3)$
直線 $y=-\dfrac{3}{7}x + \dfrac{5}{3}$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると
$y=-\dfrac{3}{7}x + \dfrac{5}{3}$ は $(7,-3)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(7,-3)$ は垂直である。よって
$\overrightarrow{n}\cdot (7,-3) = 7n_1 - 3n_2=0$
$n_2= \dfrac{7}{3} n_1$ より
$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(n_1~,\dfrac{7}{3}n_1 \right)= \dfrac{1}{3}n_1(3,7)$
よって $(3,7)$ は $y=-\dfrac{3}{7}x + \dfrac{5}{3}$ の法線ベクトルである。
直線 $4x+2y+3=0$ の法線ベクトルであるものを以下の選択肢から選びなさい。
$(4,2)$
$(4,-2)$
$(2,4)$
$(-2,4)$
$4x+2y+3=0$ より
$y = -2x + \dfrac{3}{2}$
であるから $4x+2y+3=0$ は $(1,-2)$ を方向ベクトルに持つ。
よって直線 $4x+2y+3=0$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると
$\overrightarrow{n}$ と $(1,-2)$ は垂直である。
$\overrightarrow{n}\cdot (1,-2) = n_1 - 2n_2=0$
より $n_1= 2 n_2$ となるので
$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(2n_2,n_2\right) =n_2(2,1)$
よって $(2,1)$ と平行なベクトルは $4x+2y+3=0$ の法線ベクトルである。
$\left( 4, 2\right) = 2(2,1)$
より $\left( 4, 2\right)$ と $(2,1)$ は平行であるから
$\left(4, 2 \right)$ は $4x+2y+3=0$ の法線ベクトルである。
直線 $x = -5$ の法線ベクトルであるものを以下の選択肢から選びなさい。
$(1,0)$
$(0,5)$
$(0,1)$
$(1,5)$
直線 $x=-5$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると
$x=-5$ は $(0,1)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(0,1)$ は垂直である。よって
$\overrightarrow{n}\cdot (0,1) = n_2=0$
より
$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(n_1,0\right)=n_1(1,0)$
よって $(1,0)$ は $x=-5$ の法線ベクトルである。
直線 $3x - 6y + 5 =0$ の法線ベクトルであるものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( -\dfrac{1}{\sqrt{5}}~, \dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)$
$\left( \dfrac{2}{5}~, \dfrac{1}{5}\right)$
$\left( \dfrac{2}{5}~, -\dfrac{1}{5}\right)$
$\left( \dfrac{1}{\sqrt{5}}~, \dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)$
$3x - 6y + 5 =0$ より
$y = \dfrac{1}{2} x + \dfrac{5}{6}$
よって直線 $3x-6y+5=0$ は $(2,1)$ を方向ベクトルに持つ。
$3x - 6y + 5=0$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると $\overrightarrow{n}$ と $(2,1)$ は垂直であるから
$\overrightarrow{n}\cdot (2,1) = 2n_1 + n_2 = 0$
$n_2= - 2 n_1$ より
$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(n_1,-2 n_1\right)=n_1(1,-2)$
よって $(1,-2)$ と平行なベクトルは $3x - 6y + 5 =0$ の法線ベクトルである。
$\left( -\dfrac{1}{\sqrt{5}}~, \dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) = -\dfrac{1}{\sqrt{5}} (1,-2)$
より $\left( -\dfrac{1}{\sqrt{5}}~, \dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)$ と $(1,-2)$ は平行であるから
$\left( -\dfrac{1}{\sqrt{5}}~, \dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)$ は $3x - 6y + 5 =0$ の法線ベクトルである。