直線 $y=x$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると

$y=x$ は $(1,1)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(1,1)$ は垂直である。よって

$\overrightarrow{n}\cdot (1,1) = n_1+n_2=0$

$n_2=-n_1$ より 

$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=(n_1,-n_1)=n_1(1,-1)$

よって $(1,-1)$ は $y=x$ の法線ベクトルである。