直線 $y=-3x$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると

$y=-3x$ は $(1,-3)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(1,-3)$ は垂直である。よって

$\overrightarrow{n}\cdot (1,-3) = n_1- 3n_2=0$

$n_1=3n_2$ より 

$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=(3n_2,n_2)=n_2(3,1)$

よって $(3,1)$ は $y=-3x$ の法線ベクトルである。