直線 $y=-\dfrac{4}{3}x$ の法線ベクトルを $\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)$ とすると

$y=-\dfrac{4}{3}x$ は $(3,-4)$ を方向ベクトルに持つので $\overrightarrow{n}$ と $(3,-4)$ は垂直である。よって

$\overrightarrow{n}\cdot (3,-4) = 3n_1 - 4n_2=0$

$n_2=\dfrac{3}{4} n_1$ より 

$\overrightarrow{n} = (n_1,n_2)=\left(n_1~,\dfrac{3}{4}n_1\right)=\dfrac{1}{4}n_1(4,3)$

よって $(4,3)$ と平行なベクトルは $y=-\dfrac{4}{3}x$ の法線ベクトルである。

$\left( \dfrac{4}{5}~,\dfrac{3}{5}\right) = \dfrac{1}{5} (4,3)$

より $\left( \dfrac{4}{5}~,\dfrac{3}{5}\right)$ と $(4,3)$ は平行であるから

$\left( \dfrac{4}{5}~,\dfrac{3}{5}\right)$ は $y= -\dfrac{4}{3}x$ の法線ベクトルである。