$\overrightarrow{{\rm AB}} = \left( \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3} \right)$

より $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ を通る直線を媒介変数 $t$ を用いて表すと

$\left\{ \begin{aligned} x &= \dfrac{1}{3}t \\ y &= \dfrac{2}{3}t \\ z &= 1 - \dfrac{1}{3}t \end{aligned} \right.$

$xy$ 平面との交点の $z$ 座標は $0$ なので

$1 -\dfrac{1}{3}t = 0$

よって $t = 3$ であり, $x$ と $y$ に代入すれば, 交点の座標は $(1,2,0)$ である。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = \left( \dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3}, -\dfrac{5}{3} \right)$

より $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ を通る直線を媒介変数 $t$ を用いて表すと

$\left\{ \begin{aligned} x &= \dfrac{2}{3}t \\ y &= \dfrac{1}{3}t \\ z &= 1 - \dfrac{5}{3}t \end{aligned} \right.$

$xy$ 平面との交点の $z$ 座標は $0$ なので

$1 - \dfrac{5}{3}t = 0$

よって $t = \dfrac{3}{5}$ であり, $x$ と $y$ に代入すれば, 交点の座標は $\left( \dfrac{2}{5},\dfrac{1}{5},0\right)$ である。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = \left(- \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}} - 1 \right)$

より $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ を通る直線を媒介変数 $t$ を用いて表すと

$\left\{ \begin{aligned} x &= -\dfrac{1}{\sqrt{3}}t \\ y &= \dfrac{1}{\sqrt{3}}t \\ z &= 1 +  \left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} - 1 \right)t \end{aligned} \right.$

$xy$ 平面との交点の $z$ 座標は $0$ なので

$1 +  \left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} - 1 \right)t =0$

これを解くと $t = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}$ となるので, $x$ と $y$ に代入すれば, 交点の座標は $\left(- \dfrac{ 1 + \sqrt{3} }{2},\dfrac{ 1 + \sqrt{3} }{2},0 \right)$ である。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = \left( \dfrac{1}{\sqrt{6}}, -\dfrac{1}{\sqrt{3}}, -\dfrac{1}{\sqrt{6}} - 1 \right)$

より $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ を通る直線を媒介変数 $t$ を用いて表すと

$\left\{ \begin{aligned} x &= \dfrac{1}{\sqrt{6}}t \\ y &= - \dfrac{1}{\sqrt{3}}t \\ z &= 1 - \left( \dfrac{1}{\sqrt{6}} + 1 \right)t \end{aligned} \right.$

$xy$ 平面との交点の $z$ 座標は $0$ なので

$1 - \left( \dfrac{1}{\sqrt{6}} + 1 \right)t = 0$

これを解くと $t = \dfrac{6 - \sqrt{6}}{5}$ となるので, $x$ と $y$ に代入すれば, 交点の座標は $\left(\dfrac{ \sqrt{6} - 1}{5},- \dfrac{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}{5},0 \right)$ である。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = \left( -\dfrac{1}{\sqrt{2}}, -\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2} \right)$

より $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ を通る直線を媒介変数 $t$ を用いて表すと

$\left\{ \begin{aligned} x &= -\dfrac{1}{\sqrt{2}}t \\ y &= -\dfrac{1}{2}t \\ z &= 1 - \dfrac{1}{2}t \end{aligned} \right.$

$xy$ 平面との交点の $z$ 座標は $0$ なので

$1 -\dfrac{1}{2}t = 0$

よって $t = 2$ であり, $x$ と $y$ に代入すれば, 交点の座標は $\left(-\sqrt{2},-1,0 \right)$ である。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = \left( \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{\sqrt{2}}, -\dfrac{3}{2} \right)$

より $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ を通る直線を媒介変数 $t$ を用いて表すと

$\left\{ \begin{aligned} x &= \dfrac{1}{2}t \\ y &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}t \\ z &= 1 - \dfrac{3}{2}t \end{aligned} \right.$

$xy$ 平面との交点の $z$ 座標は $0$ なので

$1 -\dfrac{3}{2}t = 0$

よって $t = \dfrac{2}{3}$ であり, $x$ と $y$ に代入すれば, 交点の座標は $\left( \dfrac{1}{3},\dfrac{\sqrt{2}}{3},0 \right)$ である。