空間図形への応用
1
$1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 ${\rm OABC}$ に対し, 辺 ${\rm AB}$ を $1:2$ に内分する点を ${\rm L}$, 線分 ${\rm BC}$ の中点を ${\rm M}$ とする。さらに線分 ${\rm AM}$ と線分 ${\rm CL}$ の交点を ${\rm P}$ とする。
この時 ${\rm OP}$ の長さとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\sqrt{11}}{4}$
$\dfrac{\sqrt{22}}{4}$
$\dfrac{\sqrt{34}}{8}$
$\dfrac{\sqrt{17}}{8}$
$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{{\rm OA}}$, $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{{\rm OB}}$, $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{{\rm OC}}$ とすると
${\rm L}$ は線分 ${\rm AB}$ を $1:2$ に内分するので
$\overrightarrow{{\rm OL}} = \dfrac{ 2\overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm OB}} }{1+2} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b} $
また ${\rm M}$ は線分 ${\rm BC}$ の中点なので
$\overrightarrow{{\rm OM}} = \dfrac{\overrightarrow{{\rm OB}} + \overrightarrow{{\rm OC}} }{2} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{c}$
${\rm P}$ は線分 ${\rm AM}$ 上にあるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm AP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm AM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm OM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$
同様に ${\rm P}$ は線分 ${\rm CL}$ 上にあるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + \overrightarrow{{\rm CP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm CL}}\\[0.5em] & = & (1-s)\overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm OL}}\\[0.5em] & = & \dfrac{2}{3}s\overrightarrow{a} + \dfrac{s}{3} \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$
よって
$(1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} = \dfrac{2}{3}s\overrightarrow{a} + \dfrac{s}{3} \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立であるから
$1- t = \dfrac{2}{3}s~$, $~\dfrac{t}{2} = \dfrac{s}{3} ~$, $~\dfrac{t}{2}= 1-s$
これを解くと $t= \dfrac{1}{2}$, $s = \dfrac{3}{4}$ となる。
よって
$\overrightarrow{{\rm OP}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{c}$
${\rm OABC}$ は正四面体であるから
$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 1$
また
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} =1\cdot 1\cdot \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$
に注意すると
$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{{\rm OP}}|^2 & = & \left( \dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{c} \right) \\[1em] & = & \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{16} + 2\cdot \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{8} \right) = \dfrac{11}{16}\end{eqnarray*}$
よって線分 ${\rm OP}$ の長さは $\dfrac{\sqrt{11}}{4}$ である。
2
$1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 ${\rm OABC}$ に対し, 辺 ${\rm AB}$ を $3:1$ に内分する点を ${\rm L}$, 線分 ${\rm BC}$ の中点を ${\rm M}$ とする。さらに線分 ${\rm AM}$ と線分 ${\rm CL}$ の交点を ${\rm P}$ とする。
この時 ${\rm OP}$ の長さとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\sqrt{34}}{7}$
$\dfrac{\sqrt{17}}{7}$
$\dfrac{2\sqrt{17}}{7}$
$\dfrac{2\sqrt{34}}{7}$
$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{{\rm OA}}$, $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{{\rm OB}}$, $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{{\rm OC}}$ とすると
${\rm L}$ は線分 ${\rm AB}$ を $3:1$ に内分するので
$\overrightarrow{{\rm OL}} = \dfrac{ \overrightarrow{{\rm OA}} + 3\overrightarrow{{\rm OB}} }{3+1} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{b} $
また ${\rm M}$ は線分 ${\rm BC}$ の中点なので
$\overrightarrow{{\rm OM}} = \dfrac{\overrightarrow{{\rm OB}} + \overrightarrow{{\rm OC}} }{2} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{c}$
${\rm P}$ は線分 ${\rm AM}$ 上にあるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm AP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm AM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm OM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$
同様に ${\rm P}$ は線分 ${\rm CL}$ 上にあるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + \overrightarrow{{\rm CP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm CL}}\\[0.5em] & = & (1-s)\overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm OL}}\\[0.5em] & = & \dfrac{s}{4}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{4}s \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$
よって
$(1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} = \dfrac{s}{4}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{4}s \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立であるから
$1- t = \dfrac{s}{4}~$, $~\dfrac{t}{2} = \dfrac{3}{4}s ~$, $~\dfrac{t}{2}= 1-s$
これを解くと $t= \dfrac{6}{7}$, $s = \dfrac{4}{7}$ となる。
よって
$\overrightarrow{{\rm OP}} = \dfrac{1}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{b} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{c}$
${\rm OABC}$ は正四面体であるから
$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 1$
また
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} =1\cdot 1\cdot \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$
に注意すると
$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{{\rm OP}}|^2 & = & \left( \dfrac{1}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{b} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{b} + \dfrac{3}{7}\overrightarrow{c} \right) \\[1em] & = & \dfrac{1}{49} + \dfrac{9}{49} + \dfrac{9}{49} + 2\cdot \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{3}{49} + \dfrac{9}{49} + \dfrac{3}{49} \right) = \dfrac{34}{49}\end{eqnarray*}$
よって線分 ${\rm OP}$ の長さは $\dfrac{\sqrt{34}}{7}$ である。
3
$1$ 辺の長さが $2$ の正四面体 ${\rm OABC}$ に対し, 辺 ${\rm AB}$ を $1:2$ に内分する点を ${\rm L}$, 線分 ${\rm BC}$ の中点を ${\rm M}$ とする。さらに線分 ${\rm AM}$ と線分 ${\rm CL}$ の交点を ${\rm P}$ とする。
この時 ${\rm OP}$ の長さとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\sqrt{11}}{2}$
$\dfrac{\sqrt{11}}{4}$
$\dfrac{\sqrt{22}}{4}$
$\dfrac{\sqrt{22}}{2}$
$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{{\rm OA}}$, $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{{\rm OB}}$, $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{{\rm OC}}$ とすると
${\rm L}$ は線分 ${\rm AB}$ を $1:2$ に内分するので
$\overrightarrow{{\rm OL}} = \dfrac{ 2\overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm OB}} }{1+2} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b} $
また ${\rm M}$ は線分 ${\rm BC}$ の中点なので
$\overrightarrow{{\rm OM}} = \dfrac{\overrightarrow{{\rm OB}} + \overrightarrow{{\rm OC}} }{2} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{c}$
${\rm P}$ は線分 ${\rm AM}$ 上にあるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm AP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm AM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm OM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$
同様に ${\rm P}$ は線分 ${\rm CL}$ 上にあるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + \overrightarrow{{\rm CP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm CL}}\\[0.5em] & = & (1-s)\overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm OL}}\\[0.5em] & = & \dfrac{2}{3}s\overrightarrow{a} + \dfrac{s}{3} \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$
よって
$(1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} = \dfrac{2}{3}s\overrightarrow{a} + \dfrac{s}{3} \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立であるから
$1- t = \dfrac{2}{3}s~$, $~\dfrac{t}{2} = \dfrac{s}{3} ~$, $~\dfrac{t}{2}= 1-s$
これを解くと $t= \dfrac{1}{2}$, $s = \dfrac{3}{4}$ となる。
よって
$\overrightarrow{{\rm OP}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{c}$
${\rm OABC}$ は正四面体であるから
$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 2$
また
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} =2\cdot 2\cdot \cos \dfrac{\pi}{3} = 2$
に注意すると
$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{{\rm OP}}|^2 & = & \left( \dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{c} \right) \\[1em] & = & 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + 2\cdot 2 \left( \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{8} \right) = \dfrac{11}{4}\end{eqnarray*}$
よって線分 ${\rm OP}$ の長さは $\dfrac{\sqrt{11}}{2}$ である。
4
$1$ 辺の長さが $2$ の正四面体 ${\rm OABC}$ に対し, 辺 ${\rm AB}$ を $2:1$ に内分する点を ${\rm L}$, 線分 ${\rm BC}$ の中点を ${\rm M}$ とする。さらに線分 ${\rm AM}$ と線分 ${\rm CL}$ の交点を ${\rm P}$ とする。
この時 ${\rm OP}$ の長さとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{2\sqrt{17}}{5}$
$\dfrac{\sqrt{17}}{5}$
$\dfrac{2\sqrt{34}}{5}$
$\dfrac{\sqrt{34}}{5}$
$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{{\rm OA}}$, $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{{\rm OB}}$, $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{{\rm OC}}$ とすると
${\rm L}$ は線分 ${\rm AB}$ を $2:1$ に内分するので
$\overrightarrow{{\rm OL}} = \dfrac{ \overrightarrow{{\rm OA}} + 2\overrightarrow{{\rm OB}} }{2+1} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b} $
また ${\rm M}$ は線分 ${\rm BC}$ の中点なので
$\overrightarrow{{\rm OM}} = \dfrac{\overrightarrow{{\rm OB}} + \overrightarrow{{\rm OC}} }{2} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{b} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{c}$
${\rm P}$ は線分 ${\rm AM}$ 上にあるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm AP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm AM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{{\rm OA}} + t\overrightarrow{{\rm OM}}\\[0.5em] & = & (1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$
同様に ${\rm P}$ は線分 ${\rm CL}$ 上にあるので
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{{\rm OP}} & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + \overrightarrow{{\rm CP}}\\[0.5em] & = & \overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm CL}}\\[0.5em] & = & (1-s)\overrightarrow{{\rm OC}} + s\overrightarrow{{\rm OL}}\\[0.5em] & = & \dfrac{s}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{3}s \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$
よって
$(1-t)\overrightarrow{a} + \dfrac{t}{2} \overrightarrow{b} + \dfrac{t}{2}\overrightarrow{c} = \dfrac{s}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{3}s \overrightarrow{b} + (1-s)\overrightarrow{c}$
$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ は線形独立であるから
$1- t = \dfrac{s}{3}~$, $~\dfrac{t}{2} = \dfrac{2}{3}s ~$, $~\dfrac{t}{2}= 1-s$
これを解くと $t= \dfrac{4}{5}$, $s = \dfrac{3}{5}$ となる。
よって
$\overrightarrow{{\rm OP}} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{b} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{c}$
${\rm OABC}$ は正四面体であるから
$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 2$
また
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} =2\cdot 2\cdot \cos \dfrac{\pi}{3} = 2$
に注意すると
$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{{\rm OP}}|^2 & = & \left( \dfrac{1}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{b} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{b} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{c} \right) \\[1em] & = & \dfrac{4}{25} + \dfrac{16}{25} + \dfrac{16}{25} + 2\cdot 2 \left( \dfrac{2}{25} + \dfrac{4}{25} + \dfrac{2}{25} \right) = \dfrac{68}{25}\end{eqnarray*}$
よって線分 ${\rm OP}$ の長さは $\dfrac{2\sqrt{17}}{5}$ である。
線形独立の判定
1
次の $3$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ は線形独立か線形従属か, 以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (1, 4, -3)~~\overrightarrow{y} = (-4, 4, 2)~~\overrightarrow{z} = (-3, 0, 3)$
線形従属
線形独立
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\left\{ \begin{aligned} a - 4b -3c &=0 \\ 4a + 4b &= 0 \\ -3a + 2b + 3c &= 0 \end{aligned} \right.$
ここから
$b = -a$, $~~c = \dfrac{5}{3} a$
となるので $a = 3$ とすれば $b = -3$, $c = 5$ となる。すなわち
$3\overrightarrow{x} - 3\overrightarrow{y} + 5\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
が成り立つ。
よってこれらのベクトルは線形従属である。
2
次の $3$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ は線形独立か線形従属か, 以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (1, -4, -5)~~\overrightarrow{y} = (1, -2, 0)~~\overrightarrow{z} = (-1, 0, 4)$
線形独立
線形従属
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\left\{ \begin{aligned} a + b - c &=0 \\ -4a - 2b &= 0 \\ -5a + 4c &= 0 \end{aligned} \right.$
$2$ つ目の式から
$b = -2a$
$1$ つ目の式に代入すると
$a = -c$
他方, $3$ つ目の式より
$a = \dfrac{5}{4}c$
$-c = \dfrac{5}{4}c$ より $c = 0$ であり, ここから $a =0$ かつ $b=0$ であることもわかる。
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$ ならば $a=b=c=0$
が成り立つので, これらのベクトルは線形独立である。
3
次の $3$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ は線形独立か線形従属か, 以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (1, -1, 3)~~\overrightarrow{y} = (-3, 4, 1)~~\overrightarrow{z} = (-5, -5, -5)$
線形独立
線形従属
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\left\{ \begin{aligned} a - 3b - 5c &=0 \\ -a + 4b - 5c&= 0 \\ 3a + b - 5c &= 0 \end{aligned} \right.$
$1$ つ目の式と $2$ つ目の式から
$b = 10c$
$1$ つ目の式に代入すると
$a = 35c$
他方, $3$ つ目の式に代入すると
$105c + 10c - 5c = 0$
整理すると $110c = 0$ となるので $c = 0$ であり, ここから $a =0$ かつ $b=0$ であることもわかる。
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$ ならば $a=b=c=0$
が成り立つので, これらのベクトルは線形独立である。
4
次の $3$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ は線形独立か線形従属か, 以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (1, 5, 4)~~\overrightarrow{y} = (1, 4, -2)~~\overrightarrow{z} = (1, 3, 0)$
線形従属
線形独立
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\left\{ \begin{aligned} a + b + c &=0 \\ 5a + 4b + 3c &= 0 \\ 4a - 2b &= 0 \end{aligned} \right.$
ここから
$b = 2a$, $~~c = -3a$
となるので $a = 1$ とすれば $b = 2$, $c = -3$ となる。すなわち
$\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} - 3\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
が成り立つ。
よってこれらのベクトルは線形従属である。
5
次の $3$ つのベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ は線形独立か線形従属か, 以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{x} = (1, -2, -1)~~\overrightarrow{y} = (3, -2, -1)~~\overrightarrow{z} = (-4, 0, -2)$
線形独立
線形従属
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\left\{ \begin{aligned} a + 3b - 4c &=0 \\ -2a - 2b &= 0 \\ -a - b - 2c &= 0 \end{aligned} \right.$
$2$ つ目の式から
$b = -a$
$1$ つ目の式に代入すると
$a = -2c$
これらを $3$ つ目の式に代入すると
$2c - 2c - 2c = 0$
整理すると $-2c=0$ であるから $c = 0$ であり, ここから $a =0$ かつ $b=0$ であることもわかる。
$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = \overrightarrow{0}$ ならば $a=b=c=0$
が成り立つので, これらのベクトルは線形独立である。