$\overrightarrow{{\rm AB}} = \left( 2,1,-1\right)$

より, $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ を通る直線を媒介変数 $t$ を用いて表すと

$\left\{ \begin{aligned} x &= 2t \\ y &= t \\ z&= 1 -t \end{aligned} \right.$

球面 $S$ の方程式は

$x^2 + y^2 + z^2 = 1$

なので, 代入すると

$\left( 2t \right)^2 + t^2 + \left( 1-t \right)^2 = 1$

整理すると

$(3t -1)t = 0$

よって $t=0$ または $t = \dfrac{1}{3}$ となるが, $t=0$ の時は点 ${\rm A}$ に対応するので $t = \dfrac{1}{3}$ である。

直線の方程式に代入すれば, 交点の座標は $\left( \dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3} \right)$ となる。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = \left( -1,2,-1\right)$

より, $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ を通る直線を媒介変数 $t$ を用いて表すと

$\left\{ \begin{aligned} x &= -t \\ y &= 2t \\ z&= 1 -t \end{aligned} \right.$

球面 $S$ の方程式は

$x^2 + y^2 + z^2 = 1$

なので, 代入すると

$\left( -t \right)^2 + \left( 2t \right)^2 + \left( 1-t \right)^2 = 1$

整理すると

$(3t -1)t = 0$

よって $t=0$ または $t = \dfrac{1}{3}$ となるが, $t=0$ の時は点 ${\rm A}$ に対応するので $t = \dfrac{1}{3}$ である。

直線の方程式に代入すれば, 交点の座標は $\left( -\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3} \right)$ となる。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = \left( \dfrac{2}{5},- \dfrac{1}{5},-1\right)$

より, $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ を通る直線を媒介変数 $t$ を用いて表すと

$\left\{ \begin{aligned} x &= \dfrac{2}{5}t \\ y &= - \dfrac{1}{5}t \\ z&= 1 -t \end{aligned} \right.$

球面 $S$ の方程式は

$x^2 + y^2 + z^2 = 1$

なので, 代入すると

$\left( \dfrac{2}{5}t \right)^2 + \left( -\dfrac{1}{5} t \right)^2 + \left( 1-t \right)^2 = 1$

整理すると

$\left(\dfrac{3}{5}t -1 \right)t = 0$

よって $t=0$ または $t = \dfrac{5}{3}$ となるが, $t=0$ の時は点 ${\rm A}$ に対応するので $t = \dfrac{5}{3}$ である。

直線の方程式に代入すれば, 交点の座標は $\left( \dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3}, -\dfrac{2}{3} \right)$ となる。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = \left( -\dfrac{1}{5},- \dfrac{2}{5},-1\right)$

より, $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ を通る直線を媒介変数 $t$ を用いて表すと

$\left\{ \begin{aligned} x &= -\dfrac{1}{5}t \\ y &= -\dfrac{2}{5}t \\ z&= 1 -t \end{aligned} \right.$

球面 $S$ の方程式は

$x^2 + y^2 + z^2 = 1$

なので, 代入すると

$\left( -\dfrac{1}{5}t \right)^2 + \left( -\dfrac{2}{5}t \right)^2 + \left( 1-t \right)^2 = 1$

整理すると

$\left(\dfrac{3}{5}t -1 \right)t = 0$

よって $t=0$ または $t = \dfrac{5}{3}$ となるが, $t=0$ の時は点 ${\rm A}$ に対応するので $t = \dfrac{5}{3}$ である。

直線の方程式に代入すれば, 交点の座標は $\left( -\dfrac{1}{3}, -\dfrac{2}{3}, -\dfrac{2}{3} \right)$ となる。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = \left( \sqrt{2},-1,-1\right)$

より, $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ を通る直線を媒介変数 $t$ を用いて表すと

$\left\{ \begin{aligned} x &= \sqrt{2}t \\ y &= -t \\ z&= 1 -t \end{aligned} \right.$

球面 $S$ の方程式は

$x^2 + y^2 + z^2 = 1$

なので, 代入すると

$\left( \sqrt{2}t \right)^2 + \left( -t \right)^2 + \left( 1-t \right)^2 = 1$

整理すると

$(2t -1)t = 0$

よって $t=0$ または $t = \dfrac{1}{2}$ となるが, $t=0$ の時は点 ${\rm A}$ に対応するので $t = \dfrac{1}{2}$ である。

直線の方程式に代入すれば, 交点の座標は $\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} \right)$ となる。