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次の方程式で表される球面の中心の座標と半径として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 2y - 2z + 2 =0$
中心 : $(4,-1,1)$
半径 : $4$
中心 : $(-4,1,-1)$
半径 : $4$
中心 : $(4,1,-1)$
半径 : $4$
中心 : $(4,1,1)$
半径 : $4$
中心が $(x_0,y_0,z_0)$ で半径が $r$ の球面の方程式は
$(x - x_0)^2 + (y -y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2$
と表せる。与えられた式を書き換えると
$\left\{ (x-4)^2 - 16 \right\} + \left\{ (y+1)^2 - 1 \right\} + \left\{ (z-1)^2 - 1 \right\} + 2 = 0$
$(x - 4)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 16 + 1 + 1 - 2 = 16 = 4^2$
よって, この球面の中心の座標は $(4,-1,1)$, 半径は $4$ である。