$2$ つの平面 $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ とした時, $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角 $\theta$ を $2$ つの平面 $\alpha_1$ と $\alpha_2$ のなす角という。

ただし、ここで $\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ を選ぶものとする。

$\alpha_1$ と $\alpha_2$ の方程式の形から

$\overrightarrow{n_1} = (5,5,2),~~~\overrightarrow{n_2} = (4,3,5)$

はそれぞれ $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルである。

$\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角を $\theta$ とすると

$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} }{ |\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} = \dfrac{ 20 + 15 + 10 }{ \sqrt{54} \sqrt{50} } = \dfrac{ 45 }{ 30\sqrt{3} } = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ より $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ である。