$2$ つの平面 $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ とした時, $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角 $\theta$ を $2$ つの平面 $\alpha_1$ と $\alpha_2$ のなす角という。

ただし、ここで $\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように $\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ を選ぶものとする。

$\alpha_1$ と $\alpha_2$ の方程式の形から

$\overrightarrow{n_1} = (5,4,3),~~~\overrightarrow{n_2} = (2,2,-1)$

はそれぞれ $\alpha_1$, $\alpha_2$ の法線ベクトルである。

$\overrightarrow{n_1}$ と $\overrightarrow{n_2}$ のなす角を $\theta$ とすると

$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} }{ |\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} = \dfrac{ 10 + 8 - 3 }{ \sqrt{50} \sqrt{9} } = \dfrac{ 15 }{ 15\sqrt{2} } = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ より $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ である。