原点を中心とする半径 $1$ の球面を $S$ とする。この時 $S$ 上の点 ${\rm A}(0,0,1)$ と $xy$ 平面上の点 ${\rm B}\left(\dfrac{2}{5},- \dfrac{1}{5},0 \right)$ を通る直線と $S$ との交点のうち, ${\rm A}$ でない方の点の座標として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left( \dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3}, -\dfrac{2}{3} \right)$
$\left( -\dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3} \right)$
$\left( \dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3} \right)$
$\left(- \dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{3}, -\dfrac{2}{3} \right)$
$\overrightarrow{{\rm AB}} = \left( \dfrac{2}{5},- \dfrac{1}{5},-1\right)$
より, $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ を通る直線を媒介変数 $t$ を用いて表すと
$\left\{ \begin{aligned} x &= \dfrac{2}{5}t \\ y &= - \dfrac{1}{5}t \\ z&= 1 -t \end{aligned} \right.$
球面 $S$ の方程式は
$x^2 + y^2 + z^2 = 1$
なので, 代入すると
$\left( \dfrac{2}{5}t \right)^2 + \left( -\dfrac{1}{5} t \right)^2 + \left( 1-t \right)^2 = 1$
整理すると
$\left(\dfrac{3}{5}t -1 \right)t = 0$
よって $t=0$ または $t = \dfrac{5}{3}$ となるが, $t=0$ の時は点 ${\rm A}$ に対応するので $t = \dfrac{5}{3}$ である。
直線の方程式に代入すれば, 交点の座標は $\left( \dfrac{2}{3}, -\dfrac{1}{3}, -\dfrac{2}{3} \right)$ となる。