$\left\{ \begin{aligned} x +7y &= 42 ~~\cdots ({\rm I}) \\ x+y &= 0 ~~\cdots ({\rm II}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 7 & 42 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 7 & 42 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}& \xrightarrow{({\rm II})  - ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & 7 & 42 \\ 0 & -6 & -42 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm II}) ~\div ~(-6)} & \begin{pmatrix} 1 & 7 & 42 \\ 0 & 1 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x +7y &= 42 \\ y &= 7 \end{aligned} \right.$

であり, $y=7$ を $1$ つ目の式に代入すると

$x = 42 - 49 = -7$

よって $x = -7$, $y=7$ である。

$\left\{ \begin{aligned} x +9y &= 77 ~~\cdots ({\rm I}) \\ x+y &= 13 ~~\cdots ({\rm II}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 9 & 77 \\ 1 & 1 & 13 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 9 & 77 \\ 1 & 1 & 13 \end{pmatrix}& \xrightarrow{({\rm II})  - ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & 9 & 77 \\ 0 & -8 & -64 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{({\rm II})~\div~(-8)} & \begin{pmatrix} 1 & 9 & 77 \\ 0 & 1 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x + 9y &= 77 \\ y &= 8 \end{aligned} \right.$

であり, $y=8$ を $1$ つ目の式に代入すると

$x = 77 - 72 = 5$

よって $x = 5$, $y=8$ である。

$\left\{ \begin{aligned} x - 5y &= 24 ~~\cdots ({\rm I}) \\ x - y &= 8 ~~\cdots ({\rm II}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -5 & 24 \\ 1 & -1 & 8 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -5 & 24 \\ 1 & -1 & 8 \end{pmatrix}& \xrightarrow{({\rm II})  - ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -5 & 24 \\ 0 & 4 & -16 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm II}) ~\div~ 4} & \begin{pmatrix} 1 & -5 & 24 \\ 0 & 1 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x - 5y &= 24 \\ y &= -4 \end{aligned} \right.$

であり, $y=-4$ を $1$ つ目の式に代入すると

$x = 24 - 20 = 4$

よって $x = 4$, $y = -4$ である。

$\left\{ \begin{aligned} x - 7y &= -18 ~~\cdots ({\rm I}) \\ 10x + 7y &= 51 ~~\cdots ({\rm II}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -7 & -18 \\ 10 & 7 & 51 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -7 & -18 \\ 10 & 7 & 51 \end{pmatrix}& \xrightarrow{({\rm II}) - 10 \times ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -7 & -18 \\ 0 & 77 & 231 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{({\rm II}) ~\div ~ 77} & \begin{pmatrix} 1 & -7 & -18 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x - 7y &= -18 \\ y &= 3 \end{aligned} \right.$

であり, $y=3$ を $1$ つ目の式に代入すると

$x = -18 + 21 = 3$

よって $x = 3$, $y = 3$ である。

$\left\{ \begin{aligned} x - 3y - 3z &= 19 ~~\cdots ({\rm I}) \\ 5x - 2y - 2z &= 30 ~~\cdots ({\rm II}) \\ -2x + 3y -z &= -15 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 19 \\ 5 & -2 & -2 & 30 \\ -2 & 3 & -1 & -15 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 19 \\ 5 & -2 & -2 & 30 \\ -2 & 3 & -1 & -15 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) - 5 \times ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 19 \\ 0 & 13 & 13 & -65 \\ -2 & 3 & -1 & -15 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{({\rm II}) ~\div ~ 13} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 19 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ -2 & 3 & -1 & -15 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) + 2 \times ({\rm I}) } &  \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 19 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & -3 & -7 & 23 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) + 3 \times ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 19 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & -4 & 8 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) ~\div ~(-4)} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 19 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}\\[1em] \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x - 3y -3z &= 19 \\ y + z &= -5 \\ z & = -2 \end{aligned} \right.$

であり, $z=-2$ を $2$ つ目の式に代入すると

$y = -5 + 2 = -3$

また, これらを $1$ つ目の式に代入すると

$x = 19  - 9 - 6 = 4$

よって $x = 4$, $y = -3$, $z = -2$ である。

$\left\{ \begin{aligned} x - 4y + 5z &= 21 ~~\cdots ({\rm I}) \\ -2x - y - 3z &= -8 ~~\cdots ({\rm II}) \\ 2x + y - 2z &= 3 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -4 & 5 & 21 \\ -2 & -1 & -3 & -8 \\ 2 & 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 5 & 21 \\ -2 & -1 & -3 & -8 \\ 2 & 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) + 2 \times ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 5 & 21 \\ 0 & -9 & 7 & 34 \\ 2 & 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) - 2 \times ({\rm I}) } &  \begin{pmatrix} 1 & -4 & 5 & 21 \\ 0 & -9 & 7 & 34 \\ 0 & 9 & -12 & -39 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) + ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 5 & 21 \\ 0 & -9 & 7 & 34 \\ 0 & 0 & -5 & -5 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) ~\div ~(-5)} & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 5 & 21 \\ 0 & -9 & 7 & 34 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x - 4y + 5z &= 21 \\ -9y + 7z &= 34 \\ z & = 1 \end{aligned} \right.$

であり, $z=1$ を $2$ つ目の式に代入すると

$-9y = 34 - 7 = 27$

よって $y = -3$ となるので, これらを $1$ つ目の式に代入すると

$x = 21  - 12 - 5 = 4$

よって $x = 4$, $y = -3$, $z = 1$ である。

$\left\{ \begin{aligned} x - 3y + z &= -14 ~~\cdots ({\rm I}) \\ 2x - 4y + 3z &= -26 ~~\cdots ({\rm II}) \\ 4x - 4y - 3z &= -4 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & -14 \\ 2 & -4 & 3 & -26 \\ 4 & -4 & -3 & -4 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & -14 \\ 2 & -4 & 3 & -26 \\ 4 & -4 & -3 & -4 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) - 2 \times ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & -14 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 4 & -4 & -3 & -4 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) - 4 \times ({\rm I}) } &  \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & -14 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 8 & -7 & 52 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) - 4 \times ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & -14 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -11 & 44 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) ~\div ~(-11)} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & -14 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \end{pmatrix}\\[1em] \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x - 3y + z &= -14 \\ 2y + z &= 2 \\ z & = -4 \end{aligned} \right.$

であり, $z= - 4$ を $2$ つ目の式に代入すると

$2y = 2 + 4 = 6$

よって $y = 3$ となるので, これらを $1$ つ目の式に代入すると

$x = -14 + 9 + 4 = -1$

よって $x = - 1$, $y = 3$, $z = - 4$ である。

$\left\{ \begin{aligned} x - 3y - 3z &= 3 ~~\cdots ({\rm I}) \\ x - y - 2z &= -2 ~~\cdots ({\rm II}) \\ -2x + 2y - 3z &= -3 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 3 \\ 1 & - 1 & -2 & -2 \\ -2 & 2 & -3 & -3 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 3 \\ 1 & - 1 & -2 & -2 \\ -2 & 2 & -3 & -3 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) - ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -5 \\ -2 & 2 & -3 & -3 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) + 2 \times ({\rm I}) } &  \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -5 \\ 0 & -4 & -9 & 3 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) + 2 \times ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & -7 & -7 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) ~\div ~(- 7)} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x - 3y -3z &= 3 \\ 2y + z &= -5 \\ z & = 1 \end{aligned} \right.$

であり, $z= 1$ を $2$ つ目の式に代入すると

$2y = -5 - 1 = - 6$

よって $y = -3$ となるので, これらを $1$ つ目の式に代入すると

$x = 3 - 9 + 3 = -3$

よって $x = -3$, $y = -3$, $z = 1$ である。