$\left\{ \begin{aligned} x +7y &= 42 ~~\cdots ({\rm I}) \\ x+y &= 0 ~~\cdots ({\rm II}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 7 & 42 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 7 & 42 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}& \xrightarrow{({\rm II})  - ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & 7 & 42 \\ 0 & -6 & -42 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm II}) ~\div ~(-6)} & \begin{pmatrix} 1 & 7 & 42 \\ 0 & 1 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x +7y &= 42 \\ y &= 7 \end{aligned} \right.$

であり, $y=7$ を $1$ つ目の式に代入すると

$x = 42 - 49 = -7$

よって $x = -7$, $y=7$ である。