行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 1 & -1 & -2 \\ -4 & 5 & -3 \end{pmatrix}$ を
下三角行列 $L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix}$ と上三角行列 $U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}$ を用いて
$A = LU$
と表したい。この時 $u_{33}$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$-4$
$3$
$-2$
$1$
$A = LU$ であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 1 & -1 & -2 \\ -4 & 5 & -3 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} & l_{21}u_{13} + u_{23} \\ l_{31}u_{11} & l_{31}u_{12} + l_{32}u_{22} & l_{31}u_{13} + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$1$ 行目を比べれば
$u_{11} = 1,~~u_{12} = -2,~~u_{13} = 5$
であるので, 代入し $1$ 列目を比べれば
$l_{21} = 1,~~l_{31} = -4$
一度整理すると
$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 1 & -1 & -2 \\ -4 & 5 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 1 & -2 + u_{22} & 5 + u_{23} \\ -4 & 8 + l_{32}u_{22} & -20 + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix}$
次に $2$ 行目を比べると
$u_{22} = 1,~~u_{23} = -7$
$(3,2)$ 成分に代入すると
$5 = 8 + l_{32}$
より $l_{32} = -3$ である。これらを $(3,3)$ 成分に代入すると
$-3 = -20 + 21 + u_{33}$
よって $u_{33} = -4$ である。
行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 5 & -1 & 5 \\ 5 & -1 & -4 \end{pmatrix}$ を
下三角行列 $L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix}$ と上三角行列 $U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}$ を用いて
$A = LU$
と表したい。この時 $u_{33}$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$-9$
$2$
$4$
$-5$
$A = LU$ であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 5 & -1 & 5 \\ 5 & -1 & -4 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} & l_{21}u_{13} + u_{23} \\ l_{31}u_{11} & l_{31}u_{12} + l_{32}u_{22} & l_{31}u_{13} + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$1$ 行目を比べれば
$u_{11} = 1,~~u_{12} = -1,~~u_{13} = -2$
であるので, 代入し $1$ 列目を比べれば
$l_{21} = 5,~~l_{31} = 5$
一度整理すると
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 5 & -1 & 5 \\ 5 & -1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 5 & -5 + u_{22} & -10 + u_{23} \\ 5 & -5 + l_{32}u_{22} & - 10 + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix}$
次に $2$ 行目を比べると
$u_{22} = 4,~~u_{23} = 15$
$(3,2)$ 成分に代入すると
$-1 = -5 + 4l_{32}$
より $l_{32} = 1$ である。これらを $(3,3)$ 成分に代入すると
$-4 = -10 + 15 + u_{33}$
よって $u_{33} = -9$ である。
行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & -4 & 5 \\ -3 & -1 & 5 \end{pmatrix}$ を
下三角行列 $L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix}$ と上三角行列 $U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}$ を用いて
$A = LU$
と表したい。この時 $u_{33}$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$20$
$5$
$-15$
$-10$
$A = LU$ であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & -4 & 5 \\ -3 & -1 & 5 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} & l_{21}u_{13} + u_{23} \\ l_{31}u_{11} & l_{31}u_{12} + l_{32}u_{22} & l_{31}u_{13} + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$1$ 行目を比べれば
$u_{11} = 1,~~u_{12} = 2,~~u_{13} = 5$
であるので, 代入し $1$ 列目を比べれば
$l_{21} = 1,~~l_{31} = -3$
一度整理すると
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & -4 & 5 \\ -3 & -1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 + u_{22} & 5 + u_{23} \\ -3 & -6 + l_{32}u_{22} & -15 + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix}$
次に $2$ 行目を比べると
$u_{22} = -6,~~u_{23} = 0$
$(3,2)$ 成分に代入すると
$-1 = -6 - 6l_{32}$
より $l_{32} = - \dfrac{5}{6}$ である。これらを $(3,3)$ 成分に代入すると
$5 = -15 + 0 + u_{33}$
よって $u_{33} = 20$ である。
行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \\ 5 & 5 & 4 \end{pmatrix}$ を
下三角行列 $L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix}$ と上三角行列 $U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}$ を用いて
$A = LU$
と表したい。この時 $u_{33}$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$-31$
$-9$
$-13$
$-44$
$A = LU$ であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \\ 5 & 5 & 4 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} & l_{21}u_{13} + u_{23} \\ l_{31}u_{11} & l_{31}u_{12} + l_{32}u_{22} & l_{31}u_{13} + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$1$ 行目を比べれば
$u_{11} = 1,~~u_{12} = -4,~~u_{13} = -4$
であるので, 代入し $1$ 列目を比べれば
$l_{21} = -2,~~l_{31} = 5$
一度整理すると
$\begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \\ 5 & 5 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 \\ -2 & 8 + u_{22} & 8 + u_{23} \\ 5 & -20 + l_{32}u_{22} & -20 + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix}$
次に $2$ 行目を比べると
$u_{22} = -5,~~u_{23} = - 11$
$(3,2)$ 成分に代入すると
$5 = -20 - 5l_{32}$
より $l_{32} = -5$ である。これらを $(3,3)$ 成分に代入すると
$4 = -20 + 55 + u_{33}$
よって $u_{33} = -31$ である。
行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -3 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ を
下三角行列 $L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix}$ と上三角行列 $U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}$ を用いて
$A = LU$
と表したい。この時 $u_{33}$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$2$
$-4$
$0$
$6$
$A = LU$ であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -3 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} & l_{21}u_{13} + u_{23} \\ l_{31}u_{11} & l_{31}u_{12} + l_{32}u_{22} & l_{31}u_{13} + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$1$ 行目を比べれば
$u_{11} = 1,~~u_{12} = -2,~~u_{13} = 2$
であるので, 代入し $1$ 列目を比べれば
$l_{21} = -3,~~l_{31} = 2$
一度整理すると
$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -3 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -3 & 6 + u_{22} & -6 + u_{23} \\ 2 & -4 + l_{32}u_{22} & 4 + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix}$
次に $2$ 行目を比べると
$u_{22} = -4,~~u_{23} = 4$
$(3,2)$ 成分に代入すると
$1 = -4 - 4l_{32}$
より $l_{32} = -\dfrac{5}{4}$ である。これらを $(3,3)$ 成分に代入すると
$1 = 4 - 5 + u_{33}$
よって $u_{33} = 2$ である。
行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ -4 & 4 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ を
下三角行列 $L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix}$ と上三角行列 $U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}$ を用いて
$A = LU$
と表したい。この時 $u_{33}$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$0$
$-3$
$6$
$9$
$A = LU$ であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ -4 & 4 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} & l_{21}u_{13} + u_{23} \\ l_{31}u_{11} & l_{31}u_{12} + l_{32}u_{22} & l_{31}u_{13} + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$1$ 行目を比べれば
$u_{11} = 1,~~u_{12} = 4,~~u_{13} = -3$
であるので, 代入し $1$ 列目を比べれば
$l_{21} = -4,~~l_{31} = -3$
一度整理すると
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ -4 & 4 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ -4 & -16 + u_{22} & 12 + u_{23} \\ -3 & -12 + l_{32}u_{22} & 9 + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix}$
次に $2$ 行目を比べると
$u_{22} = 20,~~u_{23} = - 10$
$(3,2)$ 成分に代入すると
$0 = -12 + 20 l_{32}$
より $l_{32} = \dfrac{3}{5}$ である。これらを $(3,3)$ 成分に代入すると
$3 = 9 - 6 + u_{33}$
よって $u_{33} = 0$ である。
行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 3 \\ -4 & -2 & 0 \end{pmatrix}$ を
下三角行列 $L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix}$ と上三角行列 $U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}$ を用いて
$A = LU$
と表したい。この時 $u_{33}$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$0$
$-2$
$2$
$4$
$A = LU$ であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 3 \\ -4 & -2 & 0 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} & l_{21}u_{13} + u_{23} \\ l_{31}u_{11} & l_{31}u_{12} + l_{32}u_{22} & l_{31}u_{13} + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$1$ 行目を比べれば
$u_{11} = 1,~~u_{12} = 1,~~u_{13} = 1$
であるので, 代入し $1$ 列目を比べれば
$l_{21} = 5,~~l_{31} = -4$
一度整理すると
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 3 \\ -4 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & 5 + u_{22} & 5 + u_{23} \\ -4 & -4 + l_{32}u_{22} & -4 + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix}$
次に $2$ 行目を比べると
$u_{22} = -1,~~u_{23} = -2$
$(3,2)$ 成分に代入すると
$-2 = -4 - l_{32}$
より $l_{32} = -2$ である。これらを $(3,3)$ 成分に代入すると
$0 = -4 + 4 + u_{33}$
よって $u_{33} = 0$ である。
行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 1 & -3 & -1 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ を
下三角行列 $L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix}$ と上三角行列 $U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}$ を用いて
$A = LU$
と表したい。この時 $u_{33}$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$0$
$-4$
$12$
$8$
$A = LU$ であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & -4 & 2 \\ 1 & -3 & -1 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} & l_{21}u_{13} + u_{23} \\ l_{31}u_{11} & l_{31}u_{12} + l_{32}u_{22} & l_{31}u_{13} + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$1$ 行目を比べれば
$u_{11} = 1,~~u_{12} = -4,~~u_{13} = 2$
であるので, 代入し $1$ 列目を比べれば
$l_{21} = 1,~~l_{31} = - 1$
一度整理すると
$\begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 1 & -3 & -1 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 1 & -4 + u_{22} & 2 + u_{23} \\ -1 & 4 + l_{32}u_{22} & -2 + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix}$
次に $2$ 行目を比べると
$u_{22} = 1,~~u_{23} = -3$
$(3,2)$ 成分に代入すると
$2 = 4 + l_{32}$
より $l_{32} = -2$ である。これらを $(3,3)$ 成分に代入すると
$4 = -2 + 6 + u_{33}$
よって $u_{33} = 0$ である。