$A = LU$ より

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}& =& \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

両辺の $1$ 行目を比べれば

$u_{11} = 1,~~u_{12} = 2$

$(2,1)$ 成分に代入すると

$l_{21} = 3$

これらを $(2,2)$ 成分に代入すると

$4 = 6 + u_{22}$

よって $u_{22} = -2$ である。

$A = LU$ より

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}& =& \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

両辺の $1$ 行目を比べれば

$u_{11} = 2,~~u_{12} = 3$

$(2,1)$ 成分に代入すると

$l_{21} = 2$

これらを $(2,2)$ 成分に代入すると

$6 = 6 + u_{22}$

よって $u_{22} = 0$ である。

$A = LU$ より

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}& =& \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

両辺の $1$ 行目を比べれば

$u_{11} = 1,~~u_{12} = 3$

$(2,1)$ 成分に代入すると

$l_{21} = -1$

これらを $(2,2)$ 成分に代入すると

$2 = -3 + u_{22}$

よって $u_{22} = 5$ である。

$A = LU$ より

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}& =& \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

両辺の $1$ 行目を比べれば

$u_{11} = 3,~~u_{12} = 2$

$(2,1)$ 成分に代入すると

$l_{21} = -\dfrac{2}{3}$

これらを $(2,2)$ 成分に代入すると

$5 = -\dfrac{4}{3} + u_{22}$

よって $u_{22} = \dfrac{19}{3}$ である。

$A = LU$ より

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}& =& \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

両辺の $1$ 行目を比べれば

$u_{11} = 4,~~u_{12} = 1$

$(2,1)$ 成分に代入すると

$l_{21} = \dfrac{1}{2}$

これらを $(2,2)$ 成分に代入すると

$3 = \dfrac{1}{2} + u_{22}$

よって $u_{22} = \dfrac{5}{2}$ である。

$A = LU$ より

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}& =& \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

両辺の $1$ 行目を比べれば

$u_{11} = 1,~~u_{12} = 1$

$(2,1)$ 成分に代入すると

$l_{21} = 1$

これらを $(2,2)$ 成分に代入すると

$1 = 1 + u_{22}$

よって $u_{22} = 0$ である。