$\left\{ \begin{aligned} x - 4y - 4z &= 2 ~~\cdots ({\rm I}) \\ 2x - 6y - 6z &= 3 ~~\cdots ({\rm II}) \\ -2x + 2y + 2z &= -1 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 & 2 \\ 2 & -6 & -6 & 3 \\ -2 & 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 & 2 \\ 2 & -6 & -6 & 3 \\ -2 & 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) - 2 \times ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & -1 \\ -2 & 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) + 2\times ({\rm I}) } &  \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & -1 \\ 0 & -6 & -6 & 3 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) + 3 \times ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x - 4y - 4z &= 2 \\ 2y + 2z &= -1 \end{aligned} \right.$

であり, $z= t$ として $2$ つ目の式に代入すると

$2y = -1 - 2t$

よって $y = -\dfrac{1}{2} - t$ であり, これらを $1$ つ目の式に代入すると

$x = 2 + 4\left( -\dfrac{1}{2} - t \right) + 4t = 0$

よって $x = 0$, $y = -\dfrac{1}{2} - t$, $z = t$ ($t$ は任意の数) である。

$\left\{ \begin{aligned} x - 4y + 2z &= 1 ~~\cdots ({\rm I}) \\ x - 3y - z &= 2 ~~\cdots ({\rm II}) \\ -x + 2y + 4z &= -3 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 & -3 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 & -3 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) - ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ -1 & 2 & 4 & -3 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) + ({\rm I}) } &  \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 6 & -2 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) + 2\times ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x - 4y + 2z &= 1 \\ y - 3z &= 1 \end{aligned} \right.$

であり, $z= t$ として $2$ つ目の式に代入すると

$y = 1 + 3t$

また, これらを $1$ つ目の式に代入すると

$x = 1 + 4(1+3t) -2t = 5 + 10t$

よって $x = 5 + 10t$, $y = 1 + 3t$, $z = t$ ($t$ は任意の数) である。

$\left\{ \begin{aligned} x - 3y - 2z &= 14 ~~\cdots ({\rm I}) \\ -3x + 2y - z &= -7 ~~\cdots ({\rm II}) \\ -3x - y - 4z &= 8 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 & 14 \\ -3 & 2 & -1 & -7 \\ -3 & -1 & -4 & 8 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 & 14 \\ -3 & 2 & -1 & -7 \\ -3 & -1 & -4 & 8 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) + 3 \times ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 & 14 \\ 0 & -7 & -7 & 35 \\ -3 & -1 & -4 & 8 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm II}) ~\div~ (-7) } &  \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 & 14 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ -3 & -1 & -4 & 8 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) + 3 \times ({\rm I}) } &  \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 & 14 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & -10 & -10 & 50 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) + 10 \times ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 & 14 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x - 3y - 2z &= 14 \\ y + z &= -5 \end{aligned} \right.$

であり, $z= t$ として $2$ つ目の式に代入すると

$y = -5 - t$

また, これらを $1$ つ目の式に代入すると

$x = 14 + 3(-5 - t) + 2t = -1 - t$

よって $x = -1 - t$, $y = -5 - t$, $z = t$ ($t$ は任意の数) である。

$\left\{ \begin{aligned} x - 4y + 4z &= 1 ~~\cdots ({\rm I}) \\ x - y - 2z &= 4 ~~\cdots ({\rm II}) \\ 2x - 3y - 2z &= 7 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & -2 & 4 \\ 2 & -3 & -2 & 7 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & -2 & 4 \\ 2 & -3 & -2 & 7 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) - ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 & 1 \\ 0 & 3 & -6 & 3 \\ 2 & -3 & -2 & 7 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm II}) ~\div ~3 } &  \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & -2 & 7 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) - 2\times ({\rm I}) } &  \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 5 & -10 & 5 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) - 5\times ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x - 4y + 4z &= 1 \\ y - 2z &= 1 \end{aligned} \right.$

であり, $z= t$ として $2$ つ目の式に代入すると

$y = 1 + 2t$

また, これらを $1$ つ目の式に代入すると

$x = 1 + 4(1+2t) - 4t = 5 + 4t$

よって $x = 5 + 4t$, $y = 1 + 2t$, $z = t$ ($t$ は任意の数) である。

$\left\{ \begin{aligned} x + 2y - 2z &= 3 ~~\cdots ({\rm I}) \\ 3x + y + z &= -6 ~~\cdots ({\rm II}) \\ 4x + 3y - z &= -3 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 & -6 \\ 4 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 & -6 \\ 4 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) - 3 \times ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 3 \\ 0 & -5 & 7 & -15 \\ 4 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) - 4\times ({\rm I}) } &  \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 3 \\ 0 & -5 & 7 & -15 \\ 0 & -5 & 7 & -15 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) - ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 3 \\ 0 & -5 & 7 & -15 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x + 2y - 2z &= 3 \\ -5y + 7z &= -15 \end{aligned} \right.$

であり, $z= 5t$ として $2$ つ目の式に代入すると

$y = 3 + 7t$

また, これらを $1$ つ目の式に代入すると

$x = 3 - 2(3+7t) + 10t = -3 - 4t$

よって $x = -3 - 4t$, $y = 3 + 7t$, $z = 5t$ ($t$ は任意の数) である。