$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

とし, 適当な行列を

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

とすると

$AP = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} - 2a_{13} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} -2 a_{23} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} -2 a_{m3} & a_{m3} \end{pmatrix}$

となる。

よって $P$ を右から掛けることは $2$ 列目から $3$ 列目の $2$ 倍を引く操作に対応する。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

とし, 適当な行列を

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

とすると

$AP = \begin{pmatrix} a_{11} - 2a_{12} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} - 2a_{22} & a_{22} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} - 2a_{m2} & a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

となる。

よって $P$ を右から掛けることは $1$ 列目から $2$ 列目の $2$ 倍を引く操作に対応する。

$P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

とし, 適当な行列を

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

とすると

$AP = \begin{pmatrix} a_{12} & a_{11} & a_{13} \\ a_{22} & a_{21} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m2} & a_{m1} & a_{m3} \end{pmatrix}$

となる。

よって $P$ を右から掛けることは $1$ 列目と $2$ 列目を入れ換える操作に対応する。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

とし, 適当な行列を

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

とすると

$AP = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{12} \\ a_{21} & a_{23} & a_{22} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m3} & a_{m2} \end{pmatrix}$

となる。

よって $P$ を右から掛けることは $2$ 列目と $3$ 列目を入れ換える操作に対応する。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

とし, 適当な行列を

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

とすると

$AP = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{12} + a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{22} + a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m2} + a_{m3} \end{pmatrix}$

となる。

よって $P$ を右から掛けることは $3$ 列目に $2$ 列目を加える操作に対応する。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

とし, 適当な行列を

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

とすると

$AP = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & -2a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & -2a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & -2a_{m3} \end{pmatrix}$

となる。

よって $P$ を右から掛けることは $3$ 列目を $(-2)$ 倍する操作に対応する。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

とし, 適当な行列を

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

とすると

$AP = \begin{pmatrix} a_{11} & -a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & -a_{22} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & -a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

となる。

よって $P$ を右から掛けることは $2$ 列目を $(-1)$ 倍する操作に対応する。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

とし, 適当な行列を

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

とすると

$AP = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & -a_{11} + a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & -a_{21} + a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & -a_{m1} + a_{m3} \end{pmatrix}$

となる。

よって $P$ を右から掛けることは $3$ 列目から $1$ 列目を引く操作に対応する。

$P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

とし, 適当な行列を

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

とすると

$AP = \begin{pmatrix} a_{13} & a_{12} & a_{11} \\ a_{23} & a_{22} & a_{21} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m3} & a_{m2} & a_{m1} \end{pmatrix}$

となる。

よって $P$ を右から掛けることは $1$ 列目と $3$ 列目を入れ換える操作に対応する。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

とし, 適当な行列を

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

とすると

$AP = \begin{pmatrix} a_{11} & 2a_{11} + a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & 2a_{21} + a_{22} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & 2a_{m1} + a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

となる。

よって $P$ を右から掛けることは $2$ 列目に $1$ 列目の $2$ 倍を加える操作に対応する。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

とし, 適当な行列を

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

とすると

$AP = \begin{pmatrix} a_{11} + 3a_{13} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + 3a_{23} & a_{22} & a_{23}  \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} + 3a_{m3} & a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

となる。

よって $P$ を右から掛けることは $1$ 列目に $3$ 列目の $3$ 倍を加える操作に対応する。

$P = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

とし, 適当な行列を

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

とすると

$AP = \begin{pmatrix} 3a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 3a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 3a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} \end{pmatrix}$

となる。

よって $P$ を右から掛けることは $1$ 列目を $3$ 倍する操作に対応する。