$P = $$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $

とし, 適当な行列を

$A = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

とすると

$PA = $$\begin{pmatrix} 3a_{11} & 3a_{12} & \cdots & 3a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

となる。

よって $P$ を左から掛けることは $1$ 行目を $3$ 倍する操作に対応する。

$P = $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $

とし, 適当な行列を

$A = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

とすると

$PA = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} + a_{21} & a_{32} + a_{22} & \cdots & a_{3n} + a_{2n} \end{pmatrix}$$ $

となる。

よって $P$ を左から掛けることは $3$ 行目に $2$ 行目を加える操作に対応する。

$P = $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $

とし, 適当な行列を

$A = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

とすると

$PA = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} - a_{11} & a_{22} - a_{12} & \cdots & a_{2n} - a_{1n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

となる。

よって $P$ を左から掛けることは $2$ 行目から $1$ 行目を引く操作に対応する。

$P = $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $

とし, 適当な行列を

$A = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

とすると

$PA = $$\begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

となる。

よって $P$ を左から掛けることは $1$ 行目と $2$ 行目を入れ換える操作に対応する。

$P = $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $

とし, 適当な行列を

$A = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

とすると

$PA = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ -2 a_{21} & -2 a_{22} & \cdots & -2 a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

となる。

よって $P$ を左から掛けることは $2$ 行目を $(-2)$ 倍する操作に対応する。

$P = $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $

とし, 適当な行列を

$A = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

とすると

$PA = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \end{pmatrix}$$ $

となる。

よって $P$ を左から掛けることは $2$ 行目と $3$ 行目を入れ換える操作に対応する。

$P = $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $

とし, 適当な行列を

$A = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

とすると

$PA = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} - 3a_{11} & a_{32} -3 a_{12} & \cdots & a_{3n} - 3 a_{1n} \end{pmatrix}$$ $

となる。

よって $P$ を左から掛けることは $3$ 行目から $1$ 行目の $3$ 倍を引く操作に対応する。

$P = $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $

とし, 適当な行列を

$A = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

とすると

$PA = $$\begin{pmatrix} a_{11} - 3a_{31}& a_{12} - 3 a_{32}& \cdots & a_{1n} - 3a_{3n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

となる。

よって $P$ を左から掛けることは $1$ 行目から $3$ 行目の $3$ 倍を引く操作に対応する。

$P = $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $

とし, 適当な行列を

$A = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

とすると

$PA = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} + 2a_{31} & a_{22} + 2a_{32} & \cdots & a_{2n} + 2a_{3n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

となる。

よって $P$ を左から掛けることは $2$ 行目に $3$ 行目の $2$ 倍を加える操作に対応する。

$P = $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $

とし, 適当な行列を

$A = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

とすると

$PA = $$\begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \end{pmatrix}$$ $

となる。

よって $P$ を左から掛けることは $1$ 行目と $3$ 行目を入れ換える操作に対応する。

$P = $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $

とし, 適当な行列を

$A = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

とすると

$PA = $$\begin{pmatrix} a_{11} + 2a_{21} & a_{12} + 2a_{22} & \cdots & a_{1n} + 2a_{2n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

となる。

よって $P$ を左から掛けることは $1$ 行目に $2$ 行目の $2$ 倍を加える操作に対応する。

$P = $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$ $

とし, 適当な行列を

$A = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

とすると

$PA = $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ 4a_{31} & 4a_{32} & \cdots & 4a_{3n} \end{pmatrix}$$ $

となる。

よって $P$ を左から掛けることは $3$ 行目を $4$ 倍する操作に対応する。