逆行列の応用
1
$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}, ~ B = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}$ に対し, 行列 $X$ が
$AX = B$
を満たす時 $X$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -3 & -6 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -6 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 9 & -6 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3 & -9 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$
$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$
より
$A^{-1} = (-1) \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$
である。$AX = B$ の両辺に左から $A^{-1}$ を掛ければ
$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -6 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}$
である。
2
$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}, ~ B = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}$ に対し, 行列 $X$ が
$XA = B$
を満たす時 $X$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -6 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -3 & -6 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 9 & -6 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3 & -9 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$
$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$
より
$A^{-1} = (-1) \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$
である。$XA = B$ の両辺に右から $A^{-1}$ を掛ければ
$X = BA^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$
である。
3
$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, ~ B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ に対し, 行列 $X$ が
$XA = B$
を満たす時 $X$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -3 & 3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$
より
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$
である。$XA = B$ の両辺に右から $A^{-1}$ を掛ければ
$X = BA^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
である。
4
$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, ~ B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ に対し, 行列 $X$ が
$AX = B$
を満たす時 $X$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -3 & 3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$
より
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$
である。$AX = B$ の両辺に左から $A^{-1}$ を掛ければ
$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}$
である。
5
$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, ~ B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ に対し, 行列 $X$ が
$AX = B$
を満たす時 $X$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 7 & -7 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}$
$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
より
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
である。$AX = B$ の両辺に左から $A^{-1}$ を掛ければ
$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$
である。
6
$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, ~ B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ に対し, 行列 $X$ が
$XA = B$
を満たす時 $X$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 7 & -7 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}$
$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
より
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
である。$AX = B$ の両辺に右から $A^{-1}$ を掛ければ
$X = BA^{-1} =\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$
である。
積の逆行列
1
次の行列 $A$, $B$ に対し, $(AB)^{-1}$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 5 & -8 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 27 & -46 \\ 17 & -29 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -27 & 46 \\ -17 & 29 \end{pmatrix}$
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ であり
$A^{-1} = \dfrac{1}{16-15} \begin{pmatrix} -8 & -3 \\ -5 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & -3 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}$
$B^{-1} = \dfrac{1}{-6-(-5)} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} (AB)^{-1} & = & B^{-1}A^{-1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -8 & -3 \\ -5 & -2 \end{pmatrix} \\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$
2
次の行列 $A$, $B$ に対し, $(AB)^{-1}$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ -10 & -3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -18 & 13 \\ 61 & -44 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -42 & -29 \\ -29 & -20 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 44 & 13 \\ 61 & 18 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 20 & -29 \\ -29 & 42 \end{pmatrix}$
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ であり
$A^{-1} = \dfrac{1}{-8-(-9)} \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$
$B^{-1} = \dfrac{1}{-21-(-20)} \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 10 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -10 & -7 \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} (AB)^{-1} & = & B^{-1}A^{-1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -10 & -7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \\[1em] & = & \begin{pmatrix} -18 & 13 \\ 61 & -44 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$
3
次の行列 $A$, $B$ に対し, $(AB)^{-1}$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -9 & -4 \\ -7 & -3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 31 & -38 \\ -71 & 87 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 57 & -74 \\ -47 & 61 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -87 & -38 \\ -71 & -31 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -61 & -74 \\ -47 & -57 \end{pmatrix}$
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ であり
$A^{-1} = \dfrac{1}{25-24} \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$
$B^{-1} = \dfrac{1}{27-28} \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 7 & -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -7 & 9 \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} (AB)^{-1} & = & B^{-1}A^{-1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix}3 & -4 \\ -7 & 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & -6 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \\[1em] & = & \begin{pmatrix} 31 & -38 \\ -71 & 87 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$
4
次の行列 $A$, $B$ に対し, $(AB)^{-1}$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} -5 & 4 \\ 9 & -7 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 77 & 43 \\ -34 & -19 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 10 & 37 \\ 13 & 48 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -77 & -43 \\ 34 & 19 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -10 & -37 \\ -13 & -48 \end{pmatrix}$
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ であり
$A^{-1} = \dfrac{1}{35-36} \begin{pmatrix} -7 & -4 \\ -9 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 9 & 5 \end{pmatrix}$
$B^{-1} = \dfrac{1}{-6-(-7)} \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} (AB)^{-1} & = & B^{-1}A^{-1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 9 & 5 \end{pmatrix} \\[1em] & = & \begin{pmatrix} 77 & 43 \\ -34 & -19 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$
5
次の行列 $A$, $B$ に対し, $(AB)^{-1}$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ -7 & -9 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -10 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 12 & 7 \\ 43 & 25 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -24 & -77 \\ 19 & 61 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 24 & 77 \\ -19 & -61 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -12 & -7 \\ -43 & -25 \end{pmatrix}$
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ であり
$A^{-1} = \dfrac{1}{-36-(-35)} \begin{pmatrix} -9 & -5 \\ 7 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 5 \\ -7 & -4 \end{pmatrix}$
$B^{-1} = \dfrac{1}{10-9} \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -3 & -10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -3 & -10 \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} (AB)^{-1} & = & B^{-1}A^{-1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -3 & -10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9 & 5 \\ -7 & -4 \end{pmatrix} \\[1em] & = & \begin{pmatrix} 12 & 7 \\ 43 & 25 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$