| アドウィンテクノ塾

空間における内分点・外分点

$2$ 点 ${\rm A}(4,-3,3)$, ${\rm B}(-5,3,3)$ に対し, 線分 ${\rm AB}$ を $2:1$ に外分する点 ${\rm P}$ の座標として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$\left( -14,9,3 \right)$
$\left( 14,-9,-3 \right)$
$\left( -2,1,3 \right)$
$\left( 2,-1,3 \right)$

$2$ 点 ${\rm A}(x_1,y_1,z_1)$, ${\rm B}(x_2,y_2,z_2)$ に対し, 線分 ${\rm AB}$ を $m:n$ に外分する点 ${\rm P}$ の座標は

$\left( \dfrac{ -nx_1 + mx_2}{m-n},~\dfrac{ -ny_1 + my_2}{m-n},~\dfrac{ -nz_1 + mz_2}{m-n} \right)$

と表せる。よって ${\rm P}$ の座標は

$\left( \dfrac{-4 -10}{2-1},~\dfrac{3 + 6}{2-1},~\dfrac{-3+6}{2-1}\right) = \left( -14,9,3 \right)$

$2$ 点 ${\rm A}(-2,-4,0)$, ${\rm B}(-2,4,-4)$ に対し, 線分 ${\rm AB}$ を $3:1$ に外分する点 ${\rm P}$ の座標として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$\left( -2,8,-6 \right)$
$\left( -2,-8,6 \right)$
$\left( -2,-4,3 \right)$
$\left( -2,4,-3 \right)$

$2$ 点 ${\rm A}(x_1,y_1,z_1)$, ${\rm B}(x_2,y_2,z_2)$ に対し, 線分 ${\rm AB}$ を $m:n$ に外分する点 ${\rm P}$ の座標は

$\left( \dfrac{ -nx_1 + mx_2}{m-n},~\dfrac{ -ny_1 + my_2}{m-n},~\dfrac{ -nz_1 + mz_2}{m-n} \right)$

と表せる。よって ${\rm P}$ の座標は

$\left( \dfrac{2 -6}{3-1},~\dfrac{4 + 12}{3-1},~\dfrac{0- 12}{3-1}\right) = \left( -2,8,-6 \right)$

$2$ 点 ${\rm A}(3,0,2)$, ${\rm B}(3,-3,2)$ に対し, 線分 ${\rm AB}$ を $1:2$ に内分する点 ${\rm P}$ の座標として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$\left( 3,-1,2 \right)$
$\left( 3,1,2 \right)$
$\left( 3,-1,3 \right)$
$\left( 3,1,3 \right)$

$2$ 点 ${\rm A}(x_1,y_1,z_1)$, ${\rm B}(x_2,y_2,z_2)$ に対し, 線分 ${\rm AB}$ を $m:n$ に外分する点 ${\rm P}$ の座標は

$\left( \dfrac{ nx_1 + mx_2}{m+n},~\dfrac{ ny_1 + my_2}{m+n},~\dfrac{ nz_1 + mz_2}{m+n} \right)$

と表せる。よって ${\rm P}$ の座標は

$\left( \dfrac{6 + 3}{1+2},~\dfrac{0 - 3}{1+2},~\dfrac{ 4 + 2}{1+2}\right) = \left( 3,-1,2 \right)$

$2$ 点 ${\rm A}(1,2,2)$, ${\rm B}(1,-4,-1)$ に対し, 線分 ${\rm AB}$ を $2:1$ に内分する点 ${\rm P}$ の座標として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$\left( 1,-2,0 \right)$
$\left( 3,-6,0 \right)$
$\left( 1,-2,1 \right)$
$\left( 3,-6,1 \right)$

$2$ 点 ${\rm A}(x_1,y_1,z_1)$, ${\rm B}(x_2,y_2,z_2)$ に対し, 線分 ${\rm AB}$ を $m:n$ に外分する点 ${\rm P}$ の座標は

$\left( \dfrac{ nx_1 + mx_2}{m+n},~\dfrac{ ny_1 + my_2}{m+n},~\dfrac{ nz_1 + mz_2}{m+n} \right)$

と表せる。よって ${\rm P}$ の座標は

$\left( \dfrac{1 + 2}{2+1},~\dfrac{2 - 8}{2+1},~\dfrac{ 2 - 2}{2+1}\right) = \left( 1,-2,0 \right)$

$2$ 点 ${\rm A}(0,-5,-4)$, ${\rm B}(-5,0,1)$ に対し, 線分 ${\rm AB}$ を $3:2$ に外分する点 ${\rm P}$ の座標として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$\left( -15,10,11 \right)$
$\left( 15,-10,-11 \right)$
$\left( -3,1,-1 \right)$
$\left( 3,-1,1 \right)$

$2$ 点 ${\rm A}(x_1,y_1,z_1)$, ${\rm B}(x_2,y_2,z_2)$ に対し, 線分 ${\rm AB}$ を $m:n$ に外分する点 ${\rm P}$ の座標は

$\left( \dfrac{ -nx_1 + mx_2}{m-n},~\dfrac{ -ny_1 + my_2}{m-n},~\dfrac{ -nz_1 + mz_2}{m-n} \right)$

と表せる。よって ${\rm P}$ の座標は

$\left( \dfrac{0 -15}{3-2},~\dfrac{10 + 0}{3-2},~\dfrac{ 8 + 3}{3-2}\right) = \left( -15,10,11 \right)$

$2$ 点 ${\rm A}(0,-4,-3)$, ${\rm B}(-5,1,2)$ に対し, 線分 ${\rm AB}$ を $2:3$ に内分する点 ${\rm P}$ の座標として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$\left( -2,-2,-1 \right)$
$\left( -3,-1,0 \right)$
$\left( -3,-2,-1 \right)$
$\left( -2,-1,0 \right)$

$2$ 点 ${\rm A}(x_1,y_1,z_1)$, ${\rm B}(x_2,y_2,z_2)$ に対し, 線分 ${\rm AB}$ を $m:n$ に外分する点 ${\rm P}$ の座標は

$\left( \dfrac{ nx_1 + mx_2}{m+n},~\dfrac{ ny_1 + my_2}{m+n},~\dfrac{ nz_1 + mz_2}{m+n} \right)$

と表せる。よって ${\rm P}$ の座標は

$\left( \dfrac{0 - 10}{2+3},~\dfrac{-12 + 2}{2+3},~\dfrac{ -9 + 4}{2+3}\right) = \left( -2,-2,-1 \right)$

空間ベクトルの線形結合 06

Read more about 空間ベクトルの線形結合 06

空間ベクトルの線形結合 05

Read more about 空間ベクトルの線形結合 05

空間ベクトルの線形結合 04

Read more about 空間ベクトルの線形結合 04

空間ベクトルの線形結合 03

Read more about 空間ベクトルの線形結合 03

空間ベクトルの線形結合 02

Read more about 空間ベクトルの線形結合 02

空間ベクトルの線形結合 01

Read more about 空間ベクトルの線形結合 01

空間ベクトルの線形結合

以下のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し,

$\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$

と表した時の $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$\overrightarrow{x} = (2,3,-4)$, $\overrightarrow{y} = (-1,-3,0)$, $\overrightarrow{z} = (-1,-4,-1)$, $\overrightarrow{p} = (-5,0,4)$

$11$
$-11$
$43$
$-43$

$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = (2a - b - c , 3a - 3b - 4c , -4a - c )$

より

$\left\{ \begin{aligned} 2a - b - c &= -5 ~~\cdots({\rm i})\\ 3a - 3b -4c &= 0 ~~\cdots({\rm ii})\\ -4a -c &= 4 ~~\cdots({\rm iii})\end{aligned} \right.$

$({\rm iii}) $ より

$c = -4a-4$

$({\rm i})$ と $({\rm ii})$ に代入し整理すると

$\left\{ \begin{aligned} 6a-b & = -9 \\ 19a - 3b &= -16 \end{aligned} \right.$

これを解くと $a = 11$, $b = 75$ であり, $({\rm iii})$ より $c = -48$ である。

以下のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し,

$\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$

と表した時の $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$\overrightarrow{x} = (-5,0,1)$, $\overrightarrow{y} = (-4,4,-5)$, $\overrightarrow{z} = (-2,-3,4)$, $\overrightarrow{p} = (2,-2,-5)$

$-10$
$10$
$7$
$-7$

$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = (-5a - 4b - 2c , 4b - 3c , a - 5b + 4c )$

より

$\left\{ \begin{aligned} -5a - 4b - 2c &= 2 ~~\cdots({\rm i})\\ 4b - 3c &= -2 ~~\cdots({\rm ii})\\ a - 5b + 4c &= -5 ~~\cdots({\rm iii})\end{aligned} \right.$

$({\rm i}) + ({\rm iii}) $ より

$-5a - 5c = 0$

よって $a = -c$ である、これを $({\rm iii})$ に代入し整理すると

$-5b + 3c = -5~~\cdots ({\rm iv})$

$({\rm ii}) + ({\rm iv})$ より

$-b = -7$

$b=7$ であり, $({\rm iv})$ に代入すると

$3c = 5b-5 = 30$

$c=10$ であり $a=-c = -10$ となる。

以下のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し,

$\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$

と表した時の $b$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$\overrightarrow{x} = (2,-1,-1)$, $\overrightarrow{y} = (-3,-4,0)$, $\overrightarrow{z} = (1,2,-1)$, $\overrightarrow{p} = (-1,1,3)$

$-1$
$1$
$-2$
$2$

$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = (2a - 3b + c , -a - 4b + 2c , -a - c )$

より

$\left\{ \begin{aligned} 2a - 3b + c &= -1 ~~\cdots({\rm i})\\ -a - 4b + 2c &= 1 ~~\cdots({\rm ii})\\ -a -c &= 3 ~~\cdots({\rm iii})\end{aligned} \right.$

$({\rm iii}) $ より

$c = -a-3$

$({\rm i})$ と $({\rm ii})$ に代入し整理すると

$\left\{ \begin{aligned} a - 3b & = 2 \\ -3a - 4b &= 7 \end{aligned} \right.$

これを解くと $a = -1$, $b = -1$ であり, $({\rm iii})$ より $c = -2$ である。

以下のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し,

$\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$

と表した時の $b$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$\overrightarrow{x} = (3,3,1)$, $\overrightarrow{y} = (2,-4,-5)$, $\overrightarrow{z} = (-2,2,4)$, $\overrightarrow{p} = (-3,3,2)$

$-3$
$3$
$1$
$-1$

$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = (3a + 2b - 2c , 3a - 4b + 2c , a -5b + 4c )$

より

$\left\{ \begin{aligned} 3a + 2b - 2c &= -3 ~~\cdots({\rm i})\\ 3a - 4b + 2c &= 3 ~~\cdots({\rm ii})\\ a -5b + 4c &= 2 ~~\cdots({\rm iii})\end{aligned} \right.$

$({\rm i}) + ({\rm ii}) $ より

$6a-2b=0$

よって $b = 3a$ である。$({\rm i})$ と $({\rm iii})$ に代入し整理すると

$\left\{ \begin{aligned} 9a - 2c & = -3 \\ -7a + 2c &= 1 \end{aligned} \right.$

これを解くと $a = -1$, $c = -3$ であり, $b = 3a = -3$ である。

以下のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し,

$\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$

と表した時の $c$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$\overrightarrow{x} = (-1,-1,-2)$, $\overrightarrow{y} = (3,1,4)$, $\overrightarrow{z} = (0,-4,-3)$, $\overrightarrow{p} = (3,1,2)$

$-2$
$2$
$5$
$-5$

$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = (-a + 3b , -a + b - 4c , -2a + 4b - 3c )$

より

$\left\{ \begin{aligned} -a + 3b &= 3 ~~\cdots({\rm i})\\ -a + b -4c &= 1 ~~\cdots({\rm ii})\\ -2a + 4b - 3c &= 2 ~~\cdots({\rm iii})\end{aligned} \right.$

$({\rm i}) $ より

$a = 3b-3$

$({\rm ii})$ と $({\rm iii})$ に代入し整理すると

$\left\{ \begin{aligned} -2b -4c & = -2 \\ - 2b - 3c &= -4 \end{aligned} \right.$

これを解くと $b = 5$, $c = -2$ であり, $a = 3b-3 = 12$ である。

以下のベクトル $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ と $\overrightarrow{p}$ に対し,

$\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z}$

と表した時の $c$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$\overrightarrow{x} = (-2,-2,0)$, $\overrightarrow{y} = (3,-2,1)$, $\overrightarrow{z} = (2,4,-1)$, $\overrightarrow{p} = (-5,-4,1)$

$-2$
$2$
$1$
$-1$

$a\overrightarrow{x} + b\overrightarrow{y} + c\overrightarrow{z} = (-2a + 3b + 2c , -2a - 2b + 4c , b - c )$

より

$\left\{ \begin{aligned} -2a + 3b + 2c &= -5 ~~\cdots({\rm i})\\ -2a -2b + 4c &= -4 ~~\cdots({\rm ii})\\ b - c &= 1 ~~\cdots({\rm iii})\end{aligned} \right.$

$({\rm iii}) $ より

$c = b-1$

$({\rm i})$ と $({\rm ii})$ に代入し整理すると

$\left\{ \begin{aligned} -2a + 5b & = -3 \\ -2a + 2b &= 0 \end{aligned} \right.$

これを解くと $a = -1$, $b = -1$ であり, $c = b-1 = -2$ である。

空間ベクトルの大きさ（成分表示）2 05

Read more about 空間ベクトルの大きさ（成分表示）2 05

空間ベクトルの大きさ（成分表示）2 04

Read more about 空間ベクトルの大きさ（成分表示）2 04

を購読

学習コース

練習問題一覧

空間ベクトルの線形結合 06

空間ベクトルの線形結合 05

空間ベクトルの線形結合 04

空間ベクトルの線形結合 03

空間ベクトルの線形結合 02

空間ベクトルの線形結合 01

学習コース

練習問題一覧

空間ベクトルの大きさ（成分表示）2 05

空間ベクトルの大きさ（成分表示）2 04