$\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} =(-2+2t,4+4t,-4+3t)$

より

$\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|^2 & = & (-2+2t)^2 + (4+4t)^2 + (-4+3t)^2\\[1em] & = & 29t^2 + 36\end{eqnarray*}$

よって $t=0$ の時 $|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|$ は最小値 $\sqrt{36} = 6$ を取る。

$\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} =(-3+t,3-4t,-3+t)$

より

$\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|^2 & = & (-3+t)^2 + (3-4t)^2 + (-3+t)^2\\[1em] & = & 18t^2 - 36t + 27\\[1em] & = & 18(t -1)^2 +9\end{eqnarray*}$

よって $t=1$ の時 $|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|$ は最小値 $\sqrt{9} = 3$ を取る。

$\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} =(-7-3t,-1-4t,-4-4t)$

より

$\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|^2 & = & (-7-3t)^2 + (-1-4t)^2 + (-4-4t)^2\\[1em] & = & 41t^2 + 82t + 66\\[1em] & = & 41(t+1)^2 + 25\end{eqnarray*}$

よって $t=-1$ の時 $|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|$ は最小値 $\sqrt{25} = 5$ を取る。

$\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} =(-5-2t,7+t,-4-6t)$

より

$\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|^2 & = & (-5-2t)^2 + (7+t)^2 + (-4-6t)^2\\[1em] & = & 41t^2 + 82 t+ 90 \\[1em] & = & 41(t+1)^2 + 49\end{eqnarray*}$

よって $t=-1$ の時 $|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|$ は最小値 $\sqrt{49} = 7$ を取る。

$\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} =(-2-3t,2-5t,-1-4t)$

より

$\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|^2 & = & (-2-3t)^2 + (2-5t)^2 + (-1-4t)^2\\[1em] & = & 50t^2 + 9\end{eqnarray*}$

よって $t=0$ の時 $|\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b}|$ は最小値 $\sqrt{9} = 3$ を取る。