定義に従って計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} A^2 & = & AA \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1+2 & 2+2 \\ 1+1 & 2+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

定義に従って計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} A^2 & = & AA \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1+2 & 2+2 \\ 1+1 & 2+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

よって

$ $$\begin{eqnarray*} A^3 & = & A^2A \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3+4 & 6+4 \\ 2+3 & 4+3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

定義に従って計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} A^2 & = & AA \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1+9 & 3+3 \\ 3+3 & 9+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

定義に従って計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} A^2 & = & AA \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1+9 & 3+3 \\ 3+3 & 9+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

よって

$ $$\begin{eqnarray*} A^3 & = & A^2A \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 10+18 & 30+6 \\ 6+30 & 18+10 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 28 & 36 \\ 36 & 28 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

定義に従って計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} A^2 & = & AA \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1+9 & 3+3 \\ 3+3 & 9+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

よって

$ $$\begin{eqnarray*} A^4 & = & A^2A^2 \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 100+36 & 60+60 \\ 60+60 & 36+100 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 136 & 120 \\ 120 & 136 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

定義に従って計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} A^2 & = & AA \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2-2 & -2-1 \\ 4+2 & -2+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

定義に従って計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} A^2 & = & AA \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2-2 & -2-1 \\ 4+2 & -2+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

よって

$ $$\begin{eqnarray*} A^3 & = & A^2A \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0-6 & 0-3 \\ 12-2 & -6-1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -6 & -3 \\ 10 & -7 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

定義に従って計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} A^2 & = & AA \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2-2 & -2-1 \\ 4+2 & -2+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

よって

$ $$\begin{eqnarray*} A^4 & = & A^2A^2 \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0-18 & 0+3 \\ 0-6 & -18+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -18 & 3 \\ -6 & -17 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $