変数変換
1
$\left\{ \begin{aligned} x &= 2s + t \\ y &= s - t \end{aligned} \right.$
かつ
$\left\{ \begin{aligned} s &= u + v \\ t &= u - v \end{aligned} \right.$
である時, $x$, $y$ を $u$ と $v$ を用いて表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} x &= 3u + v \\ y &= 2v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= u + v \\ y &= u - 2v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 3u \\ y &= u + 2v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -2v \\ y &= 3u - v \end{aligned} \right.$
行列を用いて表すと
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$
また
$\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$
となる。よって
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3u + v \\ 2v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
以上より,
$\left\{ \begin{aligned} x &= 3u + v \\ y &= 2v \end{aligned} \right.$
である。
2
$\left\{ \begin{aligned} x &= 3s + 4t \\ y &= -2s + t \end{aligned} \right.$
かつ
$\left\{ \begin{aligned} s &= -5u - 2v \\ t &= - u + 4v \end{aligned} \right.$
である時, $x$, $y$ を $u$ と $v$ を用いて表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} x &= -19u + 10v \\ y &= 9u + 8v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -11u - 22v \\ y &= -11u \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -18v \\ y &= -11u - 11v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 8u + 10v \\ y &= 9u - 19v \end{aligned} \right.$
行列を用いて表すと
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$
また
$\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$
となる。よって
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -5 & -2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -19 & 10 \\ 9 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -19u + 10v \\ 9u + 8v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
以上より,
$\left\{ \begin{aligned} x &= -19u + 10v \\ y &= 9u + 8v \end{aligned} \right.$
である。
3
$\left\{ \begin{aligned} x &= -2s +3 t \\ y &= -s - 2t \end{aligned} \right.$
かつ
$\left\{ \begin{aligned} s &= -4u - 5v \\ t &= -3u - 3v \end{aligned} \right.$
である時, $x$, $y$ を $u$ と $v$ を用いて表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} x &= -u + v \\ y &= 10u + 11v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 13u - 2v \\ y &= 9u - 3v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -u + 10v \\ y &= u + 11v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 13u + 9v \\ y &= -2u - 3v \end{aligned} \right.$
行列を用いて表すと
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$
また
$\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -5 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$
となる。よって
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -4 & -5 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 10 & 11 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -u + v \\ 10u + 11v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
以上より,
$\left\{ \begin{aligned} x &= -u + v \\ y &= 10u + 11v \end{aligned} \right.$
である。
4
$\left\{ \begin{aligned} x &= -s - 3t \\ y &= s - 2t \end{aligned} \right.$
かつ
$\left\{ \begin{aligned} s &= 3u - v \\ t &= -5u + 2v \end{aligned} \right.$
である時, $x$, $y$ を $u$ と $v$ を用いて表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} x &= 12u - 5v \\ y &= 13u - 5v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -4u - 7v \\ y &= 7u + 11v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 12u + 13v \\ y &= -5u - 5v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -4u + 7v \\ y &= -7u + 11v \end{aligned} \right.$
行列を用いて表すと
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$
また
$\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$
となる。よって
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 12 & -5 \\ 13 & -5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 12u - 5v \\ 13u - 5v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
以上より,
$\left\{ \begin{aligned} x &= 12u - 5v \\ y &= 13u - 5v \end{aligned} \right.$
である。
5
$\left\{ \begin{aligned} x &= -s + 3t \\ y &= s + 2t \end{aligned} \right.$
かつ
$\left\{ \begin{aligned} s &= 2u + v \\ t &= -2u + v \end{aligned} \right.$
である時, $x$, $y$ を $u$ と $v$ を用いて表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} x &= -8u + 2v \\ y &= -2u + 3v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -8u - 2v \\ y &= 2u + 3v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -u + 8v \\ y &= 3u - 4v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -u + 3v \\ y &= 8u - 4v \end{aligned} \right.$
行列を用いて表すと
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$
また
$\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$
となる。よって
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -8 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -8u + 2v \\ -2u + 3v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
以上より,
$\left\{ \begin{aligned} x &= -8u + 2v \\ y &= -2u + 3v \end{aligned} \right.$
である。
べき零行列
1
次の行列 $A$ が $A^2 = O$ を満たす時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} a & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
$-1$
$1$
$0$
$2$
$A = \begin{pmatrix} a & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{eqnarray*} A^2 & = & \begin{pmatrix} a & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a^2 -1 & -a-1 \\ a+1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって $A^2 = O$ の時
$\begin{pmatrix} a^2 -1 & -a-1 \\ a+1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
より $a=-1$ である。
2
次の行列 $A$ が $A^2 = O$ を満たす時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
$0$
$1$
$-1$
$2$
$A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{eqnarray*} A^2 & = & \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a^2 & a \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって $A^2 = O$ の時
$\begin{pmatrix} a^2 & a \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
より $a=0$ である。
3
次の行列 $A$ が $A^2 = O$ を満たす時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ a & -2 \end{pmatrix}$
$2$
$0$
$-2$
$-1$
$A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ a & -2 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{eqnarray*} A^2 & = & \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ a & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ a & -2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 4-2a & 0 \\ 0 & -2a+4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって $A^2 = O$ の時
$\begin{pmatrix} 4-2a & 0 \\ 0 & -2a+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
より $a=2$ である。
4
次の行列 $A$ が $A^2 = O$ を満たす時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ a & 2 \end{pmatrix}$
$-4$
$-1$
$4$
$-2$
$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ a & 2 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{eqnarray*} A^2 & = & \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ a & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ a & 2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 4+a & -0 \\ 0 & a+4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって $A^2 = O$ の時
$\begin{pmatrix} 4+a & -0 \\ 0 & a+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
より $a=- 4$ である。
5
次の行列 $A$ が $A^2 = O$ を満たす時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} a & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
$-2$
$2$
$-4$
$-1$
$A = \begin{pmatrix} a & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{eqnarray*} A^2 & = & \begin{pmatrix} a & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a^2 -4 & 4a +8 \\ -a -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって $A^2 = O$ の時
$\begin{pmatrix} a^2 -4 & 4a +8 \\ -a -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
より $a=-2$ である。