一般に ${}^t\!(AB) = {}^t\! B {}^t\! A$ であるから

${}^t\! (ABC) = {}^t\!((AB)C) = {}^t\! C {}^t\! (AB) = {}^t\! C {}^t\! B {}^t\! A$

よって一般に ${}^t\! (ABC) = {}^t\! C {}^t\! B {}^t\! A$ である。

一般に ${}^t\!(AB) = {}^t\! B {}^t\! A$ であるから

${}^t\! (AB) {}^t\!(CD) = ({}^t\! B {}^t\! A) ({}^t\! D {}^t\! C) = {}^t\! B {}^t\! A {}^t\! D {}^t\! C$

よって一般に ${}^t\! (AB) {}^t\!(CD) = {}^t\! B {}^t\! A {}^t\! D {}^t\! C$ である。

一般に ${}^t\!(AB) = {}^t\! B {}^t\! A$ かつ ${}^t ({}^t\! A) = A$ であるから

${}^t\!( {}^t\! (AB) CD) = {}^t\!( {}^t\! (AB) (CD)) = {}^t\! (CD) {}^t\! ({}^t\! (AB)) = ({}^t\! D {}^t\! C )(AB) = {}^t\! D {}^t\! CAB$

よって一般に ${}^t\!( {}^t\! (AB) CD) = {}^t\! D {}^t\! C AB$ である。

一般に ${}^t\!(AB) = {}^t\! B {}^t\! A$ かつ ${}^t ({}^t \!A) =A $ であるから

${}^t\! (A {}^t \! B){}^t \! C = ({}^t ( {}^t\! B) {}^t\! A) {}^t \! C = B {}^t\! A {}^t\! C$

よって一般に ${}^t\! (A {}^t \! B){}^t \! C = B {}^t\! A {}^t\! C$ である。

一般に ${}^t\!(AB) = {}^t\! B {}^t\! A$ かつ ${}^t \!( {}^t \! A) = A$ であるから

${}^t\! (A {}^t \!(BC) D) = {}^t\! ((A {}^t \!(BC)) D) = {}^t\! D {}^t\! (A {}^t \!(BC)) = {}^t\! D {}^t\! ({}^t \!(BC)) {}^t \! A = {}^t \! D ( BC) {}^t \! A = {}^t \! D BC {}^t \! A$

よって一般に ${}^t\! (A {}^t \!(BC) D)= {}^t \! D BC {}^t \! A$ である。