定義に従って計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} A^2 & = & AA \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1+2 & 2+2 \\ 1+1 & 2+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

よって

$ $$\begin{eqnarray*} A^3 & = & A^2A \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3+4 & 6+4 \\ 2+3 & 4+3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $