定義に従って計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} A^2 & = & AA \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2-2 & -2-1 \\ 4+2 & -2+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

よって

$ $$\begin{eqnarray*} A^3 & = & A^2A \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0-6 & 0-3 \\ 12-2 & -6-1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -6 & -3 \\ 10 & -7 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $