$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^4 = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

より

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

と予想できる。これを $n$ に関する数学的帰納法で証明する。

$n=1$ の時

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

より主張が成り立つ。

$n=k$ の時, 主張が成り立つと仮定すると

$A^k = \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

が成り立つ。この時

$\begin{eqnarray*}A^{k+1} & = & A^kA\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 2 + 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = &   \begin{pmatrix} 1 & 2(k+1) \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって $n=k+1$ の時も主張が成り立つ。以上から

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

であるので, その $(1,1)$ 成分は $1$ である。

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^4 = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

より

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

と予想できる。これを $n$ に関する数学的帰納法で証明する。

$n=1$ の時

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

より主張が成り立つ。

$n=k$ の時, 主張が成り立つと仮定すると

$A^k = \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

が成り立つ。この時

$\begin{eqnarray*}A^{k+1} & = & A^kA\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 2 + 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = &   \begin{pmatrix} 1 & 2(k+1) \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって $n=k+1$ の時も主張が成り立つ。以上から

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

であるので, その $(1,2)$ 成分は $2n$ である。

$A^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$

とすると

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

より

$a_1 = d_1 = 1,~~b_1=c_1 =2$

であり, また

$\begin{eqnarray*} A^{n+1} & = & A^nA\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a_n + 2b_n & 2a_n + b_n \\ c_n + 2d_n & 2c_n + d_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \\ c_{n+1} & d_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_n + 2b_n & 2a_n + b_n \\ c_n + 2d_n & 2c_n + d_n \end{pmatrix}$

が成り立つ。すると

$a_{n+1} + b_{n+1} = 3(a_n + b_n)$

かつ $a_1 + b_1 = 3$ であるから

$a_{n} + b_{n} = 3^n~~~\cdots (1)$

であり, また

$a_{n+1} - b_{n+1} = -(a_n - b_n)$

かつ $a_1 - b_1 = -1$ であるから

$a_n - b_n = (-1)^n~~~\cdots (2)$

が成り立つ。$(1)$ と $(2)$ を加えると

$2a_n = 3^n + (-1)^n$

よって

$a_n  = \dfrac{3^n + (-1)^n}{2}$ 

より $A^n$ の $(1,1)$ 成分は $\dfrac{3^n + (-1)^n}{2}$ である。

$A^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$

とすると

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

より

$a_1 = d_1 = 1,~~b_1=c_1 =2$

であり, また

$\begin{eqnarray*} A^{n+1} & = & A^nA\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a_n + 2b_n & 2a_n + b_n \\ c_n + 2d_n & 2c_n + d_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \\ c_{n+1} & d_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_n + 2b_n & 2a_n + b_n \\ c_n + 2d_n & 2c_n + d_n \end{pmatrix}$

が成り立つ。すると

$a_{n+1} + b_{n+1} = 3(a_n + b_n)$

かつ $a_1 + b_1 = 3$ であるから

$a_{n} + b_{n} = 3^n~~~\cdots (1)$

であり, また

$a_{n+1} - b_{n+1} = -(a_n - b_n)$

かつ $a_1 - b_1 = -1$ であるから

$a_n - b_n = (-1)^n~~~\cdots (2)$

が成り立つ。$(1)$ から $(2)$ を引くと

$2b_n = 3^n - (-1)^n$

よって

$b_n  = \dfrac{3^n - (-1)^n}{2}$ 

より $A^n$ の $(1,2)$ 成分は $\dfrac{3^n - (-1)^n}{2}$ である。

$A^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$

とすると

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

より

$a_1 = d_1 = 1,~~b_1=c_1 = -1$

であり, また

$\begin{eqnarray*} A^{n+1} & = & A^nA\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a_n - b_n & -a_n + b_n \\ c_n - d_n & -c_n + d_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \\ c_{n+1} & d_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_n - b_n & -a_n + b_n \\ c_n - d_n & -c_n + d_n \end{pmatrix}$

が成り立つ。すると

$a_{n+1} + b_{n+1} = 0$

かつ $a_1 + b_1 = 0$ であるから

$a_{n} + b_{n} = 0~~~\cdots (1)$

であり, また

$a_{n+1} - b_{n+1} = 2(a_n - b_n)$

かつ $a_1 - b_1 = 2$ であるから

$a_n - b_n = 2^n~~~\cdots (2)$

が成り立つ。$(1)$ と $(2)$ を加えると

$2a_n = 2^n$

よって

$a_n  = 2^{n-1}$ 

より $A^n$ の $(1,1)$ 成分は $2^{n-1}$ である。

$A^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$

とすると

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

より

$a_1 = d_1 = 1,~~b_1=c_1 = -1$

であり, また

$\begin{eqnarray*} A^{n+1} & = & A^nA\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a_n - b_n & -a_n + b_n \\ c_n - d_n & -c_n + d_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \\ c_{n+1} & d_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_n - b_n & -a_n + b_n \\ c_n - d_n & -c_n + d_n \end{pmatrix}$

が成り立つ。すると

$a_{n+1} + b_{n+1} = 0$

かつ $a_1 + b_1 = 0$ であるから

$a_{n} + b_{n} = 0~~~\cdots (1)$

であり, また

$a_{n+1} - b_{n+1} = 2(a_n - b_n)$

かつ $a_1 - b_1 = 2$ であるから

$a_n - b_n = 2^n~~~\cdots (2)$

が成り立つ。$(1)$ から $(2)$ を引くと

$2b_n = -2^n$

よって

$b_n  = -2^{n-1}$ 

より $A^n$ の $(1,2)$ 成分は $-2^{n-1}$ である。

$A^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$

とすると

$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

より

$a_1 = d_1 = -2,~~b_1=c_1 = 1$

であり, また

$\begin{eqnarray*} A^{n+1} & = & A^nA\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2a_n + b_n & a_n - 2 b_n \\ -2c_n + d_n & c_n - 2 d_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \\ c_{n+1} & d_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2a_n + b_n & a_n - 2 b_n \\ -2c_n + d_n & c_n - 2 d_n \end{pmatrix}$

が成り立つ。すると

$a_{n+1} + b_{n+1} = - (a_n + b_n)$

かつ $a_1 + b_1 = -1$ であるから

$a_{n} + b_{n} = (-1)^n~~~\cdots (1)$

であり, また

$a_{n+1} - b_{n+1} = -3(a_n - b_n)$

かつ $a_1 - b_1 = -3$ であるから

$a_n - b_n = (-3)^n~~~\cdots (2)$

が成り立つ。$(1)$ と $(2)$ を加えると

$2a_n = (-1)^n + (-3)^n$

よって

$a_n  = \dfrac{ (-1)^n + (-3)^n }{2}$ 

より $A^n$ の $(1,1)$ 成分は $\dfrac{ (-1)^n + (-3)^n }{2}$ である。

$A^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$

とすると

$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

より

$a_1 = d_1 = -2,~~b_1=c_1 = 1$

であり, また

$\begin{eqnarray*} A^{n+1} & = & A^nA\\[1em] & = & \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2a_n + b_n & a_n - 2 b_n \\ -2c_n + d_n & c_n - 2 d_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \\ c_{n+1} & d_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2a_n + b_n & a_n - 2 b_n \\ -2c_n + d_n & c_n - 2 d_n \end{pmatrix}$

が成り立つ。すると

$a_{n+1} + b_{n+1} = - (a_n + b_n)$

かつ $a_1 + b_1 = -1$ であるから

$a_{n} + b_{n} = (-1)^n~~~\cdots (1)$

であり, また

$a_{n+1} - b_{n+1} = -3(a_n - b_n)$

かつ $a_1 - b_1 = -3$ であるから

$a_n - b_n = (-3)^n~~~\cdots (2)$

が成り立つ。$(1)$ から $(2)$ を引くと

$2b_n = (-1)^n - (-3)^n$

よって

$a_n  = \dfrac{ (-1)^n - (-3)^n }{2}$ 

より $A^n$ の $(1,2)$ 成分は $\dfrac{ (-1)^n - (-3)^n }{2}$ である。

$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$

$A^3 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 27 \end{pmatrix}$

$A^4 = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 27 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 81 \end{pmatrix}$

より

$A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}$

であると予想できる。これを数学的帰納法で証明する。

$n=1$ の時

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

より主張が成り立つ。

$n=k$ の時, 主張が成り立つと仮定すると

$A^k = \begin{pmatrix} 2^k & 0 \\ 0 & 3^k \end{pmatrix}$

が成り立つ。すると

$\begin{eqnarray*} A^{k+1} & = & A^kA\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2^k & 0 \\ 0 & 3^k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2^{k+1} & 0 \\ 0 & 3^{k+1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

より $n=k+1$ の時も主張が成り立つ。

以上から

$A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}$

が成り立つので, $A^n$ の $(1,1)$ 成分は $2^n$ である。

$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$

$A^3 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 27 \end{pmatrix}$

$A^4 = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 27 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 81 \end{pmatrix}$

より

$A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}$

であると予想できる。これを数学的帰納法で証明する。

$n=1$ の時

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

より主張が成り立つ。

$n=k$ の時, 主張が成り立つと仮定すると

$A^k = \begin{pmatrix} 2^k & 0 \\ 0 & 3^k \end{pmatrix}$

が成り立つ。すると

$\begin{eqnarray*} A^{k+1} & = & A^kA\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2^k & 0 \\ 0 & 3^k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2^{k+1} & 0 \\ 0 & 3^{k+1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

より $n=k+1$ の時も主張が成り立つ。

以上から

$A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}$

が成り立つので, $A^n$ の $(2,2)$ 成分は $3^n$ である。