定義に従って計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} A^2 & = & AA \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1+9 & 3+3 \\ 3+3 & 9+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

よって

$ $$\begin{eqnarray*} A^4 & = & A^2A^2 \\[1em]& = & \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 100+36 & 60+60 \\ 60+60 & 36+100 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 136 & 120 \\ 120 & 136 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $