サラスの方法を用いると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 1 & 9 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x-2 \end{vmatrix} & = & x^2(x-2) + 1 + 9 - x - (x-2) -9x\\[1em] & = & x^3 - 2x^2 - 11x + 12 = 0\end{eqnarray*}$

$f(x) = x^3 - 2x^2 - 11x + 12$

とおくと

$f(1) = 1-2-11+12 = 0$

よって $f(x)$ は $(x-1)$ を因数に持つ。

$\begin{eqnarray*} x^3 - 2x^2 - 11x + 12 & = & (x-1)(x^2 - x - 12)\\[1em] & = & (x-1)(x-4)(x+3) \end{eqnarray*}$

よってこの方程式の解は $x = -3,1,4$ である。

サラスの方法を用いると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & -1 & -1 \\ x & -1 & 0 \end{vmatrix} & = & 0 + 0 + 0 - 1 - 0 -(-x^2) \\[1em] & = & x^2 -1\\[1em] & = & (x+1)(x-1) = 0\end{eqnarray*}$

よってこの方程式の解は $x = -1,1$ である。

サラスの方法を用いると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \\ x & 1 & 1 \end{vmatrix} & = & 1 + x^3 + 1 - x - x - x \\[1em] & = & x^3 - 3x + 2 = 0\end{eqnarray*}$

$f(x) = x^3 - 3x + 2$

とおくと

$f(1) = 1- 3 + 2 = 0$

よって $f(x)$ は $(x-1)$ を因数に持つ。

$\begin{eqnarray*} x^3 - 3x + 2 & = & (x-1)(x^2 + x - 2)\\[1em] & = & (x+2)(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

よってこの方程式の解は $x = -2,1$ である。

サラスの方法を用いると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 9 \end{vmatrix} & = & 9 + x + 3x^2 - 3 -9x - x^2 \\[1em] & = & 2x^2 -8x + 6\\[1em] & = & 2(x-1)(x-3) = 0\end{eqnarray*}$

よってこの方程式の解は $x = 1,3$ である。

サラスの方法を用いると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 1 & 23 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} & = & x^2(x-1) + 1  + 23 - x -(x-1) - 23x \\[1em] & = & x^3 - x^2 - 25x + 25 = 0\end{eqnarray*}$

$f(x) = x^3 - x^2 - 25x + 25$

とおくと

$f(1) = 1-1-25+25 = 0$

よって $f(x)$ は $(x-1)$ を因数に持つ。

$\begin{eqnarray*} x^3 - x^2 - 25x + 25 & = & (x-1)(x^2 - 25)\\[1em] & = & (x-1)(x+5)(x-5) \end{eqnarray*}$

よってこの方程式の解は $x = -5,1,5$ である。