行列式の性質2
1
行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ の行列式の値が $2$ である時, 次の行列 $B$ の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 3a_{21} & 3a_{22} & 3a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$
$6$
$5$
$2$
$3$
$1$ つの行に共通の因数はくくり出すことができるので
$\begin{eqnarray*} |B| & = & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 3a_{21} & 3a_{22} & 3a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 3\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\\[1em] & = & 3|A| \\[1em] & = & 3\cdot 2 =6 \end{eqnarray*}$
よって $|B|=6$ である。
2
行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ の行列式の値が $-2$ である時, 次の行列 $B$ の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 2a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & 2a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & 2a_{33} \end{pmatrix}$
$-4$
$2$
$-2$
$0$
$1$ つの列に共通の因数はくくり出すことができるので
$\begin{eqnarray*} |B| & = & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & 2a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & 2a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 2\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\\[1em] & = & 2|A| \\[1em] & = & 2\cdot (-2) = -4 \end{eqnarray*}$
3
行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ の行列式の値が $3$ である時, 次の行列 $B$ の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$B = \begin{pmatrix} 2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13}\\ 2a_{21} & 2a_{22} & 2a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$
$12$
$6$
$24$
$3$
$1$ つの行に共通の因数はくくり出すことができるので
$\begin{eqnarray*} |B| & = & \begin{vmatrix} 2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13}\\ 2a_{21} & 2a_{22} & 2a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\\[1em] & = & 2 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 2a_{21} & 2a_{22} & 2a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 4\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\\[1em] & = & 4|A| \\[1em] & = & 4\cdot 3 =12 \end{eqnarray*}$
よって $|B| = 12$ である。
4
行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ の行列式の値が $2$ である時, 次の行列 $B$ の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$B = \begin{pmatrix} 3a_{11} & a_{12} & 3a_{13}\\ 3a_{21} & a_{22} & 3a_{23}\\ 3a_{31} & a_{32} & 3a_{33} \end{pmatrix}$
$18$
$9$
$6$
$8$
$1$ つの列に共通の因数はくくり出すことができるので
$\begin{eqnarray*} |B| & = & \begin{vmatrix} 3a_{11} & a_{12} & 3a_{13}\\ 3a_{21} & a_{22} & 3a_{23}\\ 3a_{31} & a_{32} & 3a_{33} \end{vmatrix}\\[1em] & = & 3 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & 3a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & 3a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & 3a_{33} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 9\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\\[1em] & = & 9|A| \\[1em] & = & 9\cdot 2 = 18 \end{eqnarray*}$
よって $|B|=18$ である。
5
行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ の行列式の値が $2$ である時, $2A$ の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$16$
$4$
$2$
$8$
$2A = \begin{pmatrix} 2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13}\\ 2a_{21} & 2a_{22} & 2a_{23}\\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} |2A| & = & \begin{vmatrix} 2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13}\\ 2a_{21} & 2a_{22} & 2a_{23}\\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 2\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 2a_{21} & 2a_{22} & 2a_{23}\\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 4\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 8\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\\[1em] & = & 8|A| \\[1em] & = & 8\cdot 2 = 16 \end{eqnarray*}$
よって $|2A| = 16$ である。
一般に, $A$ が $n$ 次正方行列である時, 定数 $c$ に対し
$|cA| = c^n |A|$
であることに注意する。
6
行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ の行列式の値が $-3$ である時, $3A$ の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$-81$
$81$
$-9$
$9$
$3A = \begin{pmatrix} 3a_{11} & 3a_{12} & 3a_{13}\\ 3a_{21} & 3a_{22} & 3a_{23}\\ 3a_{31} & 3a_{32} & 3a_{33} \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} |3A| & = & \begin{vmatrix} 3a_{11} & 3a_{12} & 3a_{13}\\ 3a_{21} & 3a_{22} & 3a_{23}\\ 3a_{31} & 3a_{32} & 3a_{33} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 3\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 3a_{21} & 3a_{22} & 3a_{23}\\ 3a_{31} & 3a_{32} & 3a_{33} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 9\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 3a_{31} & 3a_{32} & 3a_{33} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 27\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\\[1em] & = & 27|A| \\[1em] & = & 27\cdot (-3) = -81 \end{eqnarray*}$
よって $|3A| = -81$ である。
一般に, $A$ が $n$ 次正方行列である時, 定数 $c$ に対し
$|cA| = c^n |A|$
であることに注意する。
7
行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ の行列式の値が $2$ である時, $2A$ の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$8$
$4$
$2$
$16$
$2A = \begin{pmatrix} 2a_{11} & 2a_{12} \\ 2a_{21} & 2a_{22} \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} |2A| & = & \begin{vmatrix} 2a_{11} & 2a_{12} \\ 2a_{21} & 2a_{22} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 2\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 2a_{21} & 2a_{22} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 4\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \\[1em] & = & 4|A| \\[1em] & = & 4\cdot 2 = 8 \end{eqnarray*}$
よって $|2A| = 8$ である。
一般に, $A$ が $n$ 次正方行列である時, 定数 $c$ に対し
$|cA| = c^n |A|$
であることに注意する。
8
行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ の行列式の値が $1$ である時, 次の行列 $B$ の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$B = \begin{pmatrix} -6a_{11} & -4a_{12} \\ -3a_{21} & -2a_{22} \end{pmatrix}$
$12$
$-12$
$24$
$-24$
同じ行や列に共通の因数はくくり出せるので
$\begin{eqnarray*} |B| & = & \begin{vmatrix} -6a_{11} & -4a_{12} \\ -3a_{21} & -2a_{22} \end{vmatrix} \\[1em] & = & -3\begin{vmatrix} 2a_{11} & -4a_{12} \\ a_{21} & -2a_{22} \end{vmatrix}\\[1em] & = & -6\begin{vmatrix} a_{11} & -2a_{12} \\ a_{21} & -2a_{22} \end{vmatrix}\\[1em] & = & 12\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\\[1em] & = & 12 |A|\\[1em] & = & 12\cdot 1 = 12 \end{eqnarray*}$
よって $|B| = 12$ である。