次の行列 $A$ の行列式を因数分解したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & x & x^3 \\ 1 & y & y^3 \\ 1 & z & z^3 \end{pmatrix}$
$(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) $
$-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) $
$3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) $
$(x-y)(y-z)(z-x)(xy + yz + zx)$
行列式の性質を用いると
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & x & x^3 \\ 1 & y & y^3 \\ 1 & z & z^3 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & x & x^3 \\ 0 & y-x & y^3 -x^3 \\ 0 & z -x & z^3 - x^3 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} y-x & (y-x)(y^2+ yx + x^2) \\ z-x & (z-x)(z^2 + zx + x^2) \end{vmatrix} \\[1em] & = & (y-x)(z-x) \begin{vmatrix} 1 & y^2 + yx + x^2 \\ 1 & z^2+ zx + x^2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & (y-x)(z-x)((z^2 + zx + x^2) - (y^2 + yx + x^2)) \\[1em] & = & (y-x)(z-x)((z^2 -y^2) + x(z-y))\\[1em] & = & (y-x)(z-x)(z-y)((z+y) + x)\\[1em] & = & (x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) \end{eqnarray*}$