正則性の判定
1
次の行列が正則かどうか判定しなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -4 & -2 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{pmatrix}$
正則である
正則でない
正方行列 $A$ に対し
$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ $|A| \not=0$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}1 & 1 & -1 \\ -4 & -2 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{vmatrix} & = & -8 + 0 + 0 - 0 - (-16) - (-10)\\[1em] & = & 18 \not=0 \end{eqnarray*}$
よってこの行列は正則である。
2
次の行列が正則かどうか判定しなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$
正則でない
正則である
正方行列 $A$ に対し
$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ $|A| \not=0$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} & = & -1 + 0 -3 - 0 - (-2) - (-2) \\[1em] & = & 4-4 = 0 \end{eqnarray*}$
よってこの行列は正則でない。
3
次の行列が正則かどうか判定しなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ -4 & 4 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$
正則でない
正則である
正方行列 $A$ に対し
$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ $|A| \not=0$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}1 & 4 & -3 \\ -4 & 4 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \end{vmatrix} & = & 12 - 24 + 0 - 0 - (-48) - 36 \\[1em] & = & 60 -60 = 0 \end{eqnarray*}$
よってこの行列は正則でない。
4
次の行列が正則かどうか判定しなさい。
$\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 & -3 \\ 1 & -3 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & -1 & -3 \end{pmatrix}$
正則である
正則でない
正方行列 $A$ に対し
$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ $|A| \not=0$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 & -3 \\ 1 & -3 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & -1 & -3 \end{vmatrix} & = & - \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ 2 & -1 & -1 & -2 \\ 1 & -3 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & -1 & -3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 3 & -7 & 4 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -7 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} 3 & -7 & 4 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -7 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -7 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ 3 & -7 & 4 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -7 & 3 \\ 0 & -7 & 5 \\ 0 & 14 & -5 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} -7 & 5 \\ 14 & -5 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 35-70 = -35 \not=0 \end{eqnarray*}$
よってこの行列は正則である。
5
次の行列が正則かどうか判定しなさい。
$\begin{pmatrix} -8 & 4 & 5 & 1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 4 & 2 & -6 & 4 \\ -4 & 6 & -1 & 5 \end{pmatrix}$
正則でない
正則である
正方行列 $A$ に対し
$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ $|A| \not=0$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -8 & 4 & 5 & 1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 4 & 2 & -6 & 4 \\ -4 & 6 & -1 & 5 \end{vmatrix} & = & - \begin{vmatrix} -1 & 2 & -5 & 3 \\ -8 & 4 & 5 & 1 \\ 4 & 2 & -6 & 4 \\ -4 & 6 & -1 & 5 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 & -3 \\ -8 & 4 & 5 & 1 \\ 4 & 2 & -6 & 4 \\ -4 & 6 & -1 & 5 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 & -3 \\ 0 & -12 & 45 & -23 \\ 0 & 10 & -26 & 16 \\ 0 & -2 & 19 & -7 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} -12 & 45 & -23 \\ 10 & -26 & 16 \\ -2 & 19 & -7 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-2) \times \begin{vmatrix} 6 & 45 & -23 \\ -5 & -26 & 16 \\ 1 & 19 & -7 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 2 \times \begin{vmatrix} 1 & 19 & -7 \\ -5 & -26 & 16 \\ 6 & 45 & -23 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 2 \times \begin{vmatrix} 1 & 19 & -7 \\ 0 & 69 & -19 \\ 0 & -69 & 19 \end{vmatrix}\\[1em] & = &2 \times \begin{vmatrix} 69 & -19 \\ -69 & 19 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
よってこの行列は正則でない。
6
次の行列が正則かどうか判定しなさい。
$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 0 & 3 \\ 1 & -2 & -2 & -3 \end{pmatrix}$
正則である
正則でない
正方行列 $A$ に対し
$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ $|A| \not=0$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 0 & 3 \\ 1 & -2 & -2 & -3 \end{vmatrix} & = & - \begin{vmatrix}1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & -2 & -3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 3 & -10 \\ 0 & 0 & -2 & -6 \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & -10 \\ 0 & -2 & -6 \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -9 & -28 \\ 0 & -2 & -6 \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} -9 & -28 \\ -2 & -6 \end{vmatrix}\\[1em] & = & -(54-56) = 2 \not=0 \end{eqnarray*}$
よってこの行列は正則である。
余因子行列
1
次の行列 $A$ の余因子行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -3 \\ -3 & 4 & -2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 10 & 10 & 0 \\ 13 & 11 & 3 \\ 11 & 7 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 10 & -10 & 0 \\ -13 & 11 & -3 \\ 11 & -7 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 10 & 13 & 11 \\ 10 & 11 & 7 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 10 & -13 & 11 \\ -10 & 11 & -7 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$
$3$ 次の正方行列 $A$ の $(i,j)$ 成分の小行列式を $D_{ij}$ とした時, $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ は
$\tilde{A} = \begin{pmatrix} D_{11} & -D_{21} & D_{31} \\ -D_{12} & D_{22} & -D_{32} \\ D_{13} & -D_{23} & D_{33} \end{pmatrix}$
と表せる。各小行列式を計算すれば
$\tilde{A} = \begin{pmatrix} 10 & 10 & 0 \\ 13 & 11 & 3 \\ 11 & 7 & 1 \end{pmatrix}$
である。
2
次の行列 $A$ の余因子行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 8 & -6 & 4 \\ -12 & 10 & -8 \\ 8 & -6 & 6 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 8 & 6 & 4 \\ 12 & 10 & 8 \\ 8 & 6 & 6 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 8 & -12 & 8 \\ -6 & 10 & -6 \\ 4 & -8 & 6 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 8 & 12 & 8 \\ 6 & 10 & 6 \\ 4 & 8 & 6 \end{pmatrix}$
$3$ 次の正方行列 $A$ の $(i,j)$ 成分の小行列式を $D_{ij}$ とした時, $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ は
$\tilde{A} = \begin{pmatrix} D_{11} & -D_{21} & D_{31} \\ -D_{12} & D_{22} & -D_{32} \\ D_{13} & -D_{23} & D_{33} \end{pmatrix}$
と表せる。各小行列式を計算すれば
$\tilde{A} = \begin{pmatrix} 8 & -6 & 4 \\ -12 & 10 & -8 \\ 8 & -6 & 6 \end{pmatrix}$
である。
3
次の行列 $A$ の余因子行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 3 \\ -4 & -4 & 1 \\ 2 & -2 & -3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 14 & -3 & 13 \\ -10 & 6 & -8 \\ 16 & -6 & 20 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 14 & 3 & 13 \\ 10 & 6 & 8 \\ 16 & 6 & 20 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -14 & 3 & -13 \\ 10 & -6 & 8 \\ -16 & 6 & -20 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 14 & -3 & 13 \\ 10 & -6 & 8 \\ 16 & -6 & 20 \end{pmatrix}$
$3$ 次の正方行列 $A$ の $(i,j)$ 成分の小行列式を $D_{ij}$ とした時, $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ は
$\tilde{A} = \begin{pmatrix} D_{11} & -D_{21} & D_{31} \\ -D_{12} & D_{22} & -D_{32} \\ D_{13} & -D_{23} & D_{33} \end{pmatrix}$
と表せる。各小行列式を計算すれば
$\tilde{A} = \begin{pmatrix} 14 & -3 & 13 \\ -10 & 6 & -8 \\ 16 & -6 & 20 \end{pmatrix}$
である。
4
次の行列 $A$ の余因子行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 3 & -3 & -4 \\ -3 & 3 & 0 \\ 2 & -3 & -3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -9 & 3 & 12 \\ -9 & -1 & 12 \\ 3 & 3 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 9 & -3 & 12 \\ -9 & 1 & -12 \\ 3 & -3 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -9 & 3 & -12 \\ 9 & -1 & 12 \\ -3 & 3 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 9 & -3 & -12 \\ 9 & 1 & -12 \\ -3 & -3 & 0 \end{pmatrix}$
$3$ 次の正方行列 $A$ の $(i,j)$ 成分の小行列式を $D_{ij}$ とした時, $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ は
$\tilde{A} = \begin{pmatrix} D_{11} & -D_{21} & D_{31} \\ -D_{12} & D_{22} & -D_{32} \\ D_{13} & -D_{23} & D_{33} \end{pmatrix}$
と表せる。各小行列式を計算すれば
$\tilde{A} = \begin{pmatrix} -9 & 3 & 12 \\ -9 & -1 & 12 \\ 3 & 3 & 0 \end{pmatrix}$
である。
5
次の行列 $A$ の余因子行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} -5 & -2 & -2 \\ -3 & -3 & -2 \\ -4 & -4 & 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -14 & 12 & -2 \\ 14 & -18 & -4 \\ 0 & -12 & 9 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 14 & -12 & 2 \\ -14 & 18 & 4 \\ 0 & 12 & -9 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 14 & 12 & 2 \\ 14 & 18 & 4 \\ 0 & 12 & 9 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 14 & -12 & 2 \\ -14 & 18 & -4 \\ 0 & -12 & 9 \end{pmatrix}$
$3$ 次の正方行列 $A$ の $(i,j)$ 成分の小行列式を $D_{ij}$ とした時, $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ は
$\tilde{A} = \begin{pmatrix} D_{11} & -D_{21} & D_{31} \\ -D_{12} & D_{22} & -D_{32} \\ D_{13} & -D_{23} & D_{33} \end{pmatrix}$
と表せる。各小行列式を計算すれば
$\tilde{A} = \begin{pmatrix} -14 & 12 & -2 \\ 14 & -18 & -4 \\ 0 & -12 & 9 \end{pmatrix}$
である。
6
次の行列 $A$ の余因子行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -4 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & -2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -2 & 4 & -4 \\ -4 & 2 & -2 \\ 4 & -5 & 8 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 & -4 & 4 \\ -4 & 2 & -2 \\ 4 & -5 & 8 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -2 & 4 & -4 \\ 4 & -2 & 2 \\ -4 & 5 & -8 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 & -4 & 4 \\ 4 & -2 & 2 \\ -4 & 5 & -8 \end{pmatrix}$
$3$ 次の正方行列 $A$ の $(i,j)$ 成分の小行列式を $D_{ij}$ とした時, $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ は
$\tilde{A} = \begin{pmatrix} D_{11} & -D_{21} & D_{31} \\ -D_{12} & D_{22} & -D_{32} \\ D_{13} & -D_{23} & D_{33} \end{pmatrix}$
と表せる。各小行列式を計算すれば
$\tilde{A} = \begin{pmatrix} -2 & 4 & -4 \\ -4 & 2 & -2 \\ 4 & -5 & 8 \end{pmatrix}$
である。