クラメルの公式
1
連立一次方程式
$\begin{pmatrix} -2 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & -3 \\ -2 & 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ 12 \end{pmatrix}$
の解のうち, $x$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$ -1$
$30$
$-30$
$1$
$A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & -3 \\ -2 & 3 & 5 \end{pmatrix}$
とすると, クラメルの公式から
$x = \dfrac{1}{|A|} \begin{vmatrix} 8 & 2 & 3 \\ -10 & 5 & -3 \\ 12 & 3 & 5 \end{vmatrix}$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} |A| & = & -50 + 12 + 36 - 18 - 40 + 30\\[1em] & = & -30\end{eqnarray*}$
であるから
$\begin{eqnarray*} x & = & -\dfrac{1}{30} \begin{vmatrix} 8 & 2 & 3 \\ -10 & 5 & -3 \\ 12 & 3 & 5 \end{vmatrix}\\[1em] & = & -\dfrac{1}{30} \left( 200 - 72 - 90 + 72 + 100 - 180 \right)\\[1em] & = & -\dfrac{1}{30}\cdot 30 = -1 \end{eqnarray*}$
よって $x= -1$ である。
2
連立一次方程式
$\begin{pmatrix} -4&3&-2\\2&3&-2\\-4&-2&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-17\\-17\\-2 \end{pmatrix}$
の解のうち, $x$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$0$
$60$
$-3$
$4$
$A = \begin{pmatrix} -4&3&-2\\2&3&-2\\-4&-2&-2\end{pmatrix}$
とすると, クラメルの公式から
$x = \dfrac{1}{|A|} \begin{vmatrix} -17 & 3 & - 2 \\ -17 & 3 & - 2 \\ -2 & - 2 & - 2 \end{vmatrix}$
が成り立つ。$1$ 行目と $2$ 行目が等しいので
$\begin{vmatrix} -17 & 3 & - 2 \\ -17 & 3 & - 2 \\ -2 & - 2 & - 2 \end{vmatrix} = 0$
であるから
$x = \dfrac{1}{|A|} \begin{vmatrix} -17 & 3 & - 2 \\ -17 & 3 & - 2 \\ -2 & - 2 & - 2 \end{vmatrix} = 0$
である。
3
連立一次方程式
$\begin{pmatrix} -4&-4&-3\\-2&4&-2\\4&3&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9\\22\\5 \end{pmatrix}$
の解のうち, $x$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$2$
$4$
$-5$
$1$
$A = \begin{pmatrix}-4&-4&-3\\-2&4&-2\\4&3&3 \end{pmatrix}$
とすると, クラメルの公式から
$x = \dfrac{1}{|A|} \begin{vmatrix} -9&-4&-3\\ 22&4&-2\\ 5&3&3 \end{vmatrix}$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} |A| & = & -48 + 32 + 18 - 24 - 24 + 48\\[1em] & = & 2 \end{eqnarray*}$
であるから
$\begin{eqnarray*} x & = & \dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} -9 & -4 & -3 \\ 22 & 4 & -2 \\ 5 & 3 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{2} \left( -108 + 40 - 198 - 54 + 264 + 60 \right)\\[1em] & = & \dfrac{1}{2}\cdot 4 = 2 \end{eqnarray*}$
よって $x= 2$ である。
4
連立一次方程式
$\begin{pmatrix} -2 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & -3 \\ -2 & 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ 12 \end{pmatrix}$
の解のうち, $y$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$0$
$-1$
$2$
$-30$
$A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & -3 \\ -2 & 3 & 5 \end{pmatrix}$
とすると, クラメルの公式から
$y = \dfrac{1}{|A|} \begin{vmatrix} -2 & 8 & 3 \\ 4 & -10 & -3 \\ -2 & 12 & 5 \end{vmatrix}$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} |A| & = & -50 + 12 + 36 - 18 - 40 + 30\\[1em] & = & -30 \end{eqnarray*}$
であるから
$\begin{eqnarray*} y & = & -\dfrac{1}{30} \begin{vmatrix} -2 & 8 & 3 \\ 4 & -10 & -3 \\ -2 & 12 & 5 \end{vmatrix}\\[1em] & = & -\dfrac{1}{30} \left( 100 + 48 + 144 - 72 - 160 - 60 \right)\\[1em] & = & -\dfrac{1}{30}\cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$
よって $y= 0$ である。
5
連立一次方程式
$\begin{pmatrix} -2 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & -3 \\ -2 & 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ 12 \end{pmatrix}$
の解のうち, $z$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$2$
$-1$
$0$
$-30$
$A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & -3 \\ -2 & 3 & 5 \end{pmatrix}$
とすると, クラメルの公式から
$z = \dfrac{1}{|A|} \begin{vmatrix} -2 & 2 & 8 \\ 4 & 5 & -10 \\ -2 & 3 & 12 \end{vmatrix}$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} |A| & = & -50 + 12 + 36 - 18 - 40 + 30\\[1em] & = & -30\end{eqnarray*}$
であるから
$\begin{eqnarray*} z & = & -\dfrac{1}{30} \begin{vmatrix} -2 & 2 & 8 \\ 4 & 5 & -10 \\ -2 & 3 & 12 \end{vmatrix}\\[1em] & = & -\dfrac{1}{30} \left( -120 + 40 + 96 - 60 - 96 + 80 \right)\\[1em] & = & -\dfrac{1}{30}\cdot (-60) = 2 \end{eqnarray*}$
よって $z = 2$ である。
6
連立一次方程式
$\begin{pmatrix} -4&3&-2\\2&3&-2\\-4&-2&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-17\\-17\\-2 \end{pmatrix}$
の解のうち, $y$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$-3$
$4$
$0$
$60$
$A = \begin{pmatrix} -4&3&-2\\2&3&-2\\-4&-2&-2 \end{pmatrix}$
とすると, クラメルの公式から
$y = \dfrac{1}{|A|} \begin{vmatrix} -4& -17&-2\\2&-17&-2\\-4&-2&-2 \end{vmatrix}$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} |A| & = & 24 + 24 + 8 + 16 + 12 - 24\\[1em] & = & 60 \end{eqnarray*}$
であるから
$\begin{eqnarray*} y & = & \dfrac{1}{|A|} \begin{vmatrix} -4& -17&-2\\2&-17&-2\\-4&-2&-2 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{60} (-136 -136 + 8 + 16 - 68 + 136)\\[1em] & = & \dfrac{1}{60} \cdot( -180) = -3 \end{eqnarray*}$
よって $y = -3$ である。
7
連立一次方程式
$\begin{pmatrix} -4&3&-2\\2&3&-2\\-4&-2&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-17\\-17\\-2 \end{pmatrix}$
の解のうち, $z$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$4$
$-3$
$0$
$6$
$A = \begin{pmatrix} -4&3&-2\\2&3&-2\\-4&-2&-2 \end{pmatrix}$
とすると, クラメルの公式から
$z = \dfrac{1}{|A|} \begin{vmatrix} -4&3&-17\\2&3&-17\\-4&-2&-2 \end{vmatrix}$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} |A| & = & 24 + 24 + 8 + 16 + 12 - 24\\[1em] & = & 60 \end{eqnarray*}$
であるから
$\begin{eqnarray*} z & = & \dfrac{1}{|A|} \begin{vmatrix} -4&3&-17\\2&3&-17\\-4&-2&-2 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{60} (24 + 204 + 68 + 136 + 12 - 204)\\[1em] & = & \dfrac{1}{60} \cdot 240 = 4 \end{eqnarray*}$
よって $z = 4$ である。
8
連立一次方程式
$\begin{pmatrix} -4&-4&-3\\-2&4&-2\\4&3&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9\\22\\5 \end{pmatrix}$
の解のうち, $y$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$4$
$2$
$8$
$6$
$A = \begin{pmatrix} -4&-4&-3\\-2&4&-2\\4&3&3 \end{pmatrix}$
とすると, クラメルの公式から
$y = \dfrac{1}{|A|} \begin{vmatrix} -4&-9&-3\\-2&22&-2\\4&5&3 \end{vmatrix}$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} |A| & = & -48 + 32 + 18 - 24 - 24 + 48\\[1em] & = & 2 \end{eqnarray*}$
であるから
$\begin{eqnarray*} y & = & \dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} -4&-9&-3\\-2&22&-2\\4&5&3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{2} \left( -264 + 72 + 30 - 40 - 54 + 264 \right)\\[1em] & = & \dfrac{1}{2}\cdot 8 = 4 \end{eqnarray*}$
よって $y= 4$ である。
9
連立一次方程式
$\begin{pmatrix} -4&-4&-3\\-2&4&-2\\4&3&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9\\22\\5 \end{pmatrix}$
の解のうち, $z$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$-5$
$4$
$2$
$-3$
$A = \begin{pmatrix} -4&-4&-3\\-2&4&-2\\4&3&3 \end{pmatrix}$
とすると, クラメルの公式から
$z = \dfrac{1}{|A|} \begin{vmatrix} -4&-4&-9\\-2&4&22\\4&3&5 \end{vmatrix}$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} |A| & = & -48 + 32 + 18 - 24 - 24 + 48\\[1em] & = & 2 \end{eqnarray*}$
であるから
$\begin{eqnarray*} x & = & \dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} -4&-4&-9\\-2&4&22\\4&3&5 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{2} \left( -80 - 352 + 54 + 264 - 40 + 144 \right)\\[1em] & = & \dfrac{1}{2}\cdot (-10) = -5 \end{eqnarray*}$
よって $z= -5$ である。