| アドウィンテクノ塾

文字を含む行列の行列式

次の行列 $A$ の行列式を因数分解したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ bc & ca & ab \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}$

$-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
$(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
$-(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)$
$abc(a+b+c)$

行列式の性質を用いると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ bc & ca & ab \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ bc & ca -bc & ab -bc \\ a^2 & b^2 -a^2 & c^2 - a^2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} -c(b -a) & -b(c-a) \\ (b+a)(b-a) & (c+a)(c-a) \end{vmatrix} \\[1em] & = & (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} -c & -b \\ b+a & c+a \end{vmatrix} \\[1em] & = & (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} -c & -b \\ a+b+c & a+b+c \end{vmatrix} \\[1em] & = & (b-a)(c-a)(a+b+c) \begin{vmatrix} -c & -b \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\[1em] & = & (b-a)(c-a)(a+b+c) (-c - (-b))\\[1em]& =& -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) \end{eqnarray*}$

次の行列 $A$ の行列式を因数分解したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ (b+c)^2 & (c+a)^2 & (a+b)^2 \end{pmatrix}$

$2(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
$-2(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
$(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
$-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

行列式の性質を用いると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ (b+c)^2 & (c+a)^2 & (a+b)^2 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2 -a^2 \\ (b+c)^2 & (c+a)^2 - (b+c)^2 & (a+b)^2 - (b+c)^2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} (b-a)(b+a) & (c-a)(c+a) \\ (a-b)(a+b+2c) & (a-c)(a + 2b + c) \end{vmatrix} \\[1em] & = & (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} b+a & c+a \\ -(a+ b +2c) & -(a+ 2b +c) \end{vmatrix} \\[1em] & = & (a-b)(c-a) \begin{vmatrix} b+a & c+a \\ a+ b +2c & a+ 2b +c \end{vmatrix} \\[1em] & = & (a-b)(c-a) \begin{vmatrix} b+a & c+a \\ 2(a+b+c) & 2(a+b+c) \end{vmatrix} \\[1em] & = & 2(a-b)(c-a)(a+b+c) \begin{vmatrix} b+a & c+a \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\[1em] & = & 2(a-b)(c-a)(a+b+c) ((b+a) - (c+a))\\[1em]& =& 2(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) \end{eqnarray*}$

次の行列 $A$ の行列式を因数分解したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$A = \begin{pmatrix} 1 & x & x^3 \\ 1 & y & y^3 \\ 1 & z & z^3 \end{pmatrix}$

$(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) $
$-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) $
$3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) $
$(x-y)(y-z)(z-x)(xy + yz + zx)$

行列式の性質を用いると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & x & x^3 \\ 1 & y & y^3 \\ 1 & z & z^3 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & x & x^3 \\ 0 & y-x & y^3 -x^3 \\ 0 & z -x & z^3 - x^3 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} y-x & (y-x)(y^2+ yx + x^2) \\ z-x & (z-x)(z^2 + zx + x^2) \end{vmatrix} \\[1em] & = & (y-x)(z-x) \begin{vmatrix} 1 & y^2 + yx + x^2 \\ 1 & z^2+ zx + x^2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & (y-x)(z-x)((z^2 + zx + x^2) - (y^2 + yx + x^2)) \\[1em] & = & (y-x)(z-x)((z^2 -y^2) + x(z-y))\\[1em] & = & (y-x)(z-x)(z-y)((z+y) + x)\\[1em] & = & (x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) \end{eqnarray*}$

次の行列 $A$ の行列式を因数分解したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$A = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{pmatrix}$

$(x-y)(y-z)(z-x)$
$-(x-y)(y-z)(z-x)$
$(x+y)(y+z)(z+x)$
$-(x+y)(y+z)(z+x)$

行列式の性質を用いると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & y-x & y^2 -x^2 \\ 0 & z-x & z^2 - x^2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} y-x & (y-x)(y+x) \\ z-x & (z-x)(z+x) \end{vmatrix} \\[1em] & = & (y-x)(z-x) \begin{vmatrix} 1 & y+x \\ 1 & z+x \end{vmatrix} \\[1em] & = & (y-x)(z-x)((z+x) - (y+x))\\[1em] & = & (x-y)(y-z)(z-x) \end{eqnarray*}$

次の行列 $A$ の行列式を計算したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}$

$3abc - (a^3 + b^3 + c^3)$
$a^3 + b^3 + c^3 -3abc$
$(a+b+c)^3$
$a^3+ b^3 + c^3 + ab+bc + ca$

サラスの方法を用いると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} & = & abc + abc + abc -a^3 -b^3 - c^3 \\[1em] &= & 3abc - (a^3 + b^3 + c^3)\end{eqnarray*}$

次の行列 $A$ の行列式を計算したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$A = \begin{pmatrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b\\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{pmatrix}$

$(ad-bc)^2$
$a^2d^2 - c^2d^2$
$ad-bc$
$a^2d^2 + b^2c^2$

行列式の性質を用いると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b\\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b\\ 0 & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b\\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b\\ 0 & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} c & 0 & d & 0 \\ 0 & a & 0 & b\\ 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{vmatrix}\\[1em] & = & a \begin{vmatrix} a & 0 & b\\ 0 & d & 0 \\ c & 0 & d \end{vmatrix} - c\begin{vmatrix} a & 0 & b\\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & d \end{vmatrix}\\[1em] & = & -a \begin{vmatrix} 0 & d & 0\\ a & 0 & b \\ c & 0 & d \end{vmatrix} + c\begin{vmatrix} 0 & b & 0\\ a & 0 & b \\ c & 0 & d \end{vmatrix}\\[1em] & = & a \begin{vmatrix} d & 0 & 0\\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \end{vmatrix} - c\begin{vmatrix} b & 0 & 0\\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \end{vmatrix}\\[1em] & = & ad \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} - bc\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\\[1em] & = & (ad-bc) \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\\[1em] & = & (ad-bc)^2 \end{eqnarray*}$

次の行列 $A$ の行列式を因数分解したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$A = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 1 & y & y^2 & y^3 \\ 1 & z & z^2 & z^3 \\ 1 & w & w^2 & w^3 \end{pmatrix}$

$(w-x)(w-y)(w-z)(z-y)(z-x)(y-x)$
$-(w-x)(w-y)(w-z)(z-y)(z-x)(y-x)$
$2(w-x)(w-y)(w-z)(z-y)(z-x)(y-x)$
$3(w-x)(w-y)(w-z)(z-y)(z-x)(y-x)$

行列式の性質を用いると

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 1 & y & y^2 & y^3 \\ 1 & z & z^2 & z^3 \\ 1 & w & w^2 & w^3 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 0 & y-x & y^2-x^2 & y^3 -x^3\\ 0 & z-x & z^2-x^2 & z^3- x^3 \\ 0 & w -x & w^2 -x^2 & w^3 -x^3 \end{vmatrix} \\[1em] & = & (y-x)(z-x)(w-x) \begin{vmatrix} 1 & y+x & y^2+ yx + x^2 \\ 1 & z + x & z^2 + zx + x^2 \\ 1 & w+x & w^2 + wx + x^2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & (y-x)(z-x)(w-x) \begin{vmatrix} 1 & y + x & y^2 + yx + x^2 \\ 0 & z-y & (z-y)(x+y+z) \\ 0 & w-y & (w-y)(x + y +w ) \end{vmatrix} \\[1em] & = & (y-x)(z-x)(w-x)(z-y)(w-y) \begin{vmatrix} 1 & x+y+z \\ 1 & x+ y+ w \end{vmatrix} \\[1em] & = &(y-x)(z-x)(w-x)(z-y)(w-y) (w-z) \\[1em] & = & (w-x)(w-y)(w-z)(z-y)(z-x)(y-x) \end{eqnarray*}$

文字を含む行列の行列式 02

文字を含む行列の行列式 01

学習コース

練習問題一覧

一般の行列式の計算 09

一般の行列式の計算 08

一般の行列式の計算 07

一般の行列式の計算 06

一般の行列式の計算 05

一般の行列式の計算 04

一般の行列式の計算 03