次の行列 $A$ の行列式を計算したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b\\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{pmatrix}$
$(ad-bc)^2$
$a^2d^2 - c^2d^2$
$ad-bc$
$a^2d^2 + b^2c^2$
行列式の性質を用いると
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b\\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b\\ 0 & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b\\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b\\ 0 & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} c & 0 & d & 0 \\ 0 & a & 0 & b\\ 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{vmatrix}\\[1em] & = & a \begin{vmatrix} a & 0 & b\\ 0 & d & 0 \\ c & 0 & d \end{vmatrix} - c\begin{vmatrix} a & 0 & b\\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & d \end{vmatrix}\\[1em] & = & -a \begin{vmatrix} 0 & d & 0\\ a & 0 & b \\ c & 0 & d \end{vmatrix} + c\begin{vmatrix} 0 & b & 0\\ a & 0 & b \\ c & 0 & d \end{vmatrix}\\[1em] & = & a \begin{vmatrix} d & 0 & 0\\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \end{vmatrix} - c\begin{vmatrix} b & 0 & 0\\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \end{vmatrix}\\[1em] & = & ad \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} - bc\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\\[1em] & = & (ad-bc) \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\\[1em] & = & (ad-bc)^2 \end{eqnarray*}$