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次の行列 $A$ の行列式を因数分解したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{pmatrix}$
$(x-y)(y-z)(z-x)$
$-(x-y)(y-z)(z-x)$
$(x+y)(y+z)(z+x)$
$-(x+y)(y+z)(z+x)$
行列式の性質を用いると
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & y-x & y^2 -x^2 \\ 0 & z-x & z^2 - x^2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} y-x & (y-x)(y+x) \\ z-x & (z-x)(z+x) \end{vmatrix} \\[1em] & = & (y-x)(z-x) \begin{vmatrix} 1 & y+x \\ 1 & z+x \end{vmatrix} \\[1em] & = & (y-x)(z-x)((z+x) - (y+x))\\[1em] & = & (x-y)(y-z)(z-x) \end{eqnarray*}$