一般の行列式の計算
1
次の行列 $A$ の行列式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ -1 & -1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ -2 & -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$
$5$
$-7$
$3$
$-1$
行列式の性質を利用すると
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ -1 & -1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ -2 & -3 & -1 & 1 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ -2 & -3 & -1 & 1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 2 \\ 0 & -1 & -5 & 4 \\ -2 & -3 & -1 & 1 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 2 \\ 0 & -1 & -5 & 4 \\ 0 & 1 & 5 & 1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 & 2 \\ -1 & -5 & 4 \\ 1 & 5 & 1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 & 2 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 5 & 1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 & 2 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & -1 - (-6) = 5 \end{eqnarray*}$
2
次の行列 $A$ の行列式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ -2 & 5 & -4 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \\ -4 & 4 & 3 & -1 \end{pmatrix}$
$-84$
$72$
$-93$
$66$
行列式の性質を利用すると
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ -2 & 5 & -4 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \\ -4 & 4 & 3 & -1 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \\ -4 & 4 & 3 & -1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ -4 & 4 & 3 & -1 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -4 & 15 & -13 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & -7 \\ 1 & -1 & 2 \\ -4 & 15 & -13 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & -7 \\ 0 & -3 & 9 \\ -4 & 15 & -13 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & -7 \\ 0 & -3 & 9 \\ 0 & 23 & -41 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} -3 & 9 \\ 23 & -41 \end{vmatrix}\\[1em] & = &123 - 207 = -84 \end{eqnarray*}$
3
次の行列 $A$ の行列式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ -1 & -2 & -2 & 5 \\ 4 & 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}$
$- 375$
$-625$
$-155$
$- 945$
行列式の性質を利用すると
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -4 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ -1 & -2 & -2 & 5 \\ 4 & 0 & -1 & 4 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & -4 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & -6 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & -1 & 4 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -4 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & -6 & 1 & 3 \\ 0 & 16 & -13 & 12 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ -6 & 1 & 3 \\ 16 & -13 & 12 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & -11 & -15 \\ 16 & -13 & 12 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & -11 & -15 \\ 0 & 19 & 60 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} -11 & -15 \\ 19 & 60 \end{vmatrix}\\[1em] & = & -660 - (-285) = - 375 \end{eqnarray*}$
4
次の行列 $A$ の行列式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 3 \\ 5 & -4 & 5 & -4 \\ 0 & -3 & 5 & -4 \\ -4 & -3 & -4 & 0 \end{pmatrix}$
$-377$
$-628$
$477$
$0$
行列式の性質を利用すると
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -1 & -2 & 3 \\ 5 & -4 & 5 & -4 \\ 0 & -3 & 5 & -4 \\ -4 & -3 & -4 & 0 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & -1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 15 & -19 \\ 0 & -3 & 5 & -4 \\ -4 & -3 & -4 & 0 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 15 & -19 \\ 0 & -3 & 5 & -4 \\ 0 & -7 & -12 & 12 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 15 & -19 \\ -3 & 5 & -4 \\ -7 & -12 & 12 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 15 & -19 \\ 0 & 50 & -61 \\ -7 & -12 & 12 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 15 & -19 \\ 0 & 50 & -61 \\ 0 & 93 & -121 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 50 & -61 \\ 93 & -121 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 50 & -61 \\ -7 & 1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 50 - 427 = -377 \end{eqnarray*}$
5
次の行列 $A$ の行列式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 3 \\ -1 & 3 & -1 & 1 \\ -3 & -2 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$
$-47$
$-147$
$-23$
$-123$
行列式の性質を利用すると
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 3 \\ -1 & 3 & -1 & 1 \\ -3 & -2 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ -3 & -2 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & -8 & 7 & 7 \\ -2 & 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & -8 & 7 & 7 \\ 0 & -3 & 7 & 8 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -8 & 7 & 7 \\ -3 & 7 & 8 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 23 & 39 \\ -3 & 7 & 8 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 23 & 39 \\ 0 & 13 & 20 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 23 & 39 \\ 13 & 20 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 460 - 507 = -47 \end{eqnarray*}$
6
次の行列 $A$ の行列式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 4 & 2 \end{pmatrix}$
$28$
$16$
$20$
$24$
行列式の性質を利用すると
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 4 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 4 & 2 \end{vmatrix} & = & 4 \times \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 1 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 1 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 1 & 4 & 2 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-4) \times \begin{vmatrix} 1 & 4 & 3 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 4 & 2 & 4 & 4 \\ 1 & 4 & 4 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 3 & 4 & 2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & (-4) \times \begin{vmatrix} 1 & 4 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-4) \times \begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 4 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 4 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 4 \times \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 4 \times \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-4) \times \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}\\[1em] & =& (-4) \times (2 - 9) = 28\end{eqnarray*}$
7
次の行列 $A$ の行列式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 3 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 4 & 3 \end{pmatrix}$
$12$
$10$
$0$
$8$
$1$ 行目から $2$ 行目を引くと
$ \begin{vmatrix} 3 & 4 & 3 & 4 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 4 & 3 \end{vmatrix}$
右辺に対し, 行列式の性質を利用すると
$\begin{eqnarray*}\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 4 & 3 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 5 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 7 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 0 & 3 \\ 0 & 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = &(-1)\times \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-1)\times \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 10 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-1)\times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 10 \end{vmatrix}\\[1em] & = &-( -10 - 2) = 12 \end{eqnarray*}$
8
次の行列 $A$ の行列式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 3 & -3 & 2 \\ -2 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & -2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$
$-58$
$-133$
$-362$
$-4$
$1$ 行目から $2$ 行目を引くと
$\begin{vmatrix} 3 & -4 & 2 & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 3 & -3 & 2 \\ -2 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & -2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 3 & -3 & 2 \\ -2 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & -2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix}$
$2$ 列目と $3$ 列目に $1$ 列目を加えると
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 3 & -3 & 2 \\ -2 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 2 & -2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 5 & -3 & 2 \\ -2 & -4 & 0 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} -1 & 5 & -3 & 2 \\ -4 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} \\[1em] & = &(-1) \times \begin{vmatrix} 1 & -5 & 3 & -2 \\ -4 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} \\[1em] & = &(-1) \times \begin{vmatrix} 1 & -5 & 3 & -2 \\ 0 & -20 & 15 & -12 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 14 & -5 & 8 \end{vmatrix} \\[1em] & = &(-1) \times \begin{vmatrix} -20 & 15 & -12 \\ 1 & 1 & 1 \\ 14 & -5 & 8 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -20 & 15 & -12 \\ 14 & -5 & 8 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 35 & 8 \\ 0 & -19 & -6 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 35 & 8 \\ -19 & -6 \end{vmatrix} \\[1em] & = & -210 - (-152) = -58\end{eqnarray*}$
9
次の行列 $A$ の行列式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 & 3 & 2 \\ 4 & 3 & 4 & 4 & -2 \\ 2 & 3 & 2 & 4 & 4 \\ 2 & 2 & 2 & 4 & -3 \\ 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$
$0$
$-32$
$8$
$16$
$1$ 列目と $3$ 列目が等しいので, $A$ の行列式は $0$ である。
行列式の性質3
1
$2$ つの行列 $A= \begin{pmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{pmatrix}$ と $B= \begin{pmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{pmatrix}$ がそれぞれ $|A|=2$ かつ $|B|=3$ であるとする。
この時, 次の行列の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$C = AB$
$6$
$5$
$3$
$2$
$2$ つの行列の積の行列式は, 行列式の積に等しいので
$\begin{eqnarray*} |C| & = & |AB|\\[1em] & = & |A||B| \\[1em] & = & 2\cdot 3 = 6 \end{eqnarray*}$
よって $|C|=6$ である。
2
$2$ つの行列 $A= \begin{pmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{pmatrix}$ と $B= \begin{pmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{pmatrix}$ がそれぞれ $|A|=2$ かつ $|B|=3$ であるとする。
この時, 次の行列の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$C = \begin{pmatrix} 2a_1 + 3b_1 & c_1 \\ 2a_2 + 3b_2 & c_2 \end{pmatrix}$
$13$
$4$
$5$
$12$
ある行が和で表せるとき, 行列式は和に分解できるので
$\begin{eqnarray*} |C| & = & \begin{vmatrix} 2a_1 + 3b_1 & c_1 \\ 2a_2 + 3b_2 & c_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 2a_1 & c_1 \\ 2a_2 & c_2 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 3b_1 & c_1 \\ 3b_2 & c_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & 2\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}+ 3\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & 2|A| + 3|B| \\[1em] & = & 2\cdot 2 + 3\cdot 3 = 13 \end{eqnarray*}$
よって $|C| = 13$ である。
4
$2$ つの行列 $A= \begin{pmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{pmatrix}$ と $B= \begin{pmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{pmatrix}$ がそれぞれ $|A|=2$ かつ $|B|=3$ であるとする。
この時, 次の行列の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$C = \begin{pmatrix} 3c_1 + 2b_1 & c_1 \\ 3c_2 + 2b_2 & c_2 \end{pmatrix}$
$6$
$12$
$5$
$3$
ある行が和で表せるとき, 行列式は和に分解できるので
$\begin{eqnarray*} |C| & = & \begin{vmatrix} 3c_1 + 2b_1 & c_1 \\ 3c_2 + 2b_2 & c_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 3c_1 & c_1 \\ 3c_2 & c_2 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 2b_1 & c_1 \\ 2b_2 & c_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & 3\begin{vmatrix} c_1 & c_1 \\ c_2 & c_2 \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & 0 + 2|B| \\[1em] & = & 2\cdot 3 = 6 \end{eqnarray*}$
よって $|C| = 6$ である。
5
$2$ つの行列 $A= \begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ a_1 & a_2 \end{pmatrix}$ と $B= \begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix}$ がそれぞれ $|A|=2$ かつ $|B|=3$ であるとする。
この時, 次の行列の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$C = \begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ 3a_1 + 2b_1 & 3a_2 + 2b_2 \end{pmatrix}$
$12$
$13$
$6$
$5$
ある列が和で表せるとき, 行列式は和に分解できるので
$\begin{eqnarray*} |C| & = & \begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ 3a_1 + 2b_1 & 3a_2 + 2b_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ 3a_1 & 3a_2 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ 2b_1 & 2b_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & 3\begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ a_1 & a_2 \end{vmatrix}+ 2\begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & 3|A| + 2|B| \\[1em] & = & 3\cdot 2 + 2\cdot 3 = 12 \end{eqnarray*}$
よって $|C| = 12$ である。
6
$2$ つの行列 $A= \begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ a_1 & a_2 \end{pmatrix}$ と $B= \begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix}$ がそれぞれ $|A|=2$ かつ $|B|=3$ であるとする。
この時, 次の行列の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$C = \begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ a_1 - 3c_1 & a_2 - 3c_2 \end{pmatrix}$
$2$
$-7$
$-2$
$3$
ある列が和で表せるとき, 行列式は和に分解できるので
$\begin{eqnarray*} |C| & = & \begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ a_1 - 3c_1 & a_2 - 3c_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ a_1 & a_2 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ -3c_1 & -3c_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ a_1 & a_2 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ c_1 & c_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & |A| - 0 \\[1em] & = & 2 \end{eqnarray*}$
よって $|C| = 2$ である。
7
$2$ つの行列 $A= \begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ a_1 & a_2 \end{pmatrix}$ と $B= \begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix}$ がそれぞれ $|A|=2$ かつ $|B|=3$ であるとする。
この時, 次の行列の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$C = \begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ 2c_1 - 4b_1 & 2c_2 - 4b_2 \end{pmatrix}$
$-12$
$-8$
$4$
$3$
ある列が和で表せるとき, 行列式は和に分解できるので
$\begin{eqnarray*} |C| & = & \begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ 2c_1 - 4b_1 & 2c_2 - 4b_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ 2c_1 & 2c_2 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ -4b_1 & -4b_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & 2\begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ c_1 & c_2 \end{vmatrix} - 4\begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & 0 - 4|B| \\[1em] & = & -4\cdot 3 = -12 \end{eqnarray*}$
よって $|C| = -12$ である。